Prod de limites es igual al limite del product

¿Ha cambiado todas la deltas y epsilon por?. Por lo que te lo vuelvo a hacer con E y D
Hola:
limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c   --->   limx->af(x).g(x) = b.c
Queremos probar que, dado E> 0, existe D > 0 / para todo x tal que|x-a|< D  --> |f(x).g(x) - b.c| < E.
sabemos que:
limx->af(x) = b => (por def. de límite) dado E1 > 0, existe D1 > 0 / para todo x tal que |x-a|< D1  --> |f(x)- b| < E1.
limx->ag(x) = c => (por def. de límite) dado E2 > 0, existe D 2> 0 / para todo x tal que |x-a|< D2  --> |g(x) -c| < E2.
limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe D3 > 0 y k > 0 / para todo x tal que |x-a|< D3   ---> |f(x)| < k.
Sea E1 = E/(2|c|) , E2 = E/(2k) 
|f(x) - b| < E/(2|c|) => |c||f(x) - b| < E/2                                (1)
 |g(x) - c| < E/(2|b|) => k|g(x) - c| < E/2                                (2)
 |f(x)| < k => (de 2) |f(x)||g(x) - c| < E/2                                (3) 
Sea D= min {D1,D2}
De 1) y 3): para todo x tal que|x-a|< D
|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < E
|f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) + f(x)(g(x) - c)| <= (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < E
(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|
=> |f(x)g(x) - bc| < E
=> (por def. de límite) limx->af(x)g(x) = bc
Espero haberme explicado bien.
Por favor si no te quedan dudas puntúa la pregunta para que se pueda cerrar.