Demostrar por inducción matemática
Quiero que me ayuden a demostrar por inducción matemática lo siguiente:
((n+1)/n)^n <= n+1
Segun los pasos para la demostracion:
1) Se debe cumplir para n=1.
2) Se debe cumplir que si tomo un n=k la expresion también debe cumplirse para un n=k+1(he aquí mi problema).
De antemano gracias por la respuesta
((n+1)/n)^n <= n+1
Segun los pasos para la demostracion:
1) Se debe cumplir para n=1.
2) Se debe cumplir que si tomo un n=k la expresion también debe cumplirse para un n=k+1(he aquí mi problema).
De antemano gracias por la respuesta
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
1
1)para el caso n=1
((1+1)/1)^1 <= 1+1 en este caso queda 2<=2 que es cierto
2) lo suponemos para n=k, veamos que es cierto para k+1
((k+1+1)/(k+1))^(k+1) <= k+1+1
((k+1+1)/(k+1))^(k+1)=((k+2)/(k+1))^(k+1)=(1+1/(k+1))^(k+1)=(1+1/(k+1))^k · (1+1/(k+1))
(1+1/(k+1))^k<=(1+1/k)^k ya que 1/(k+1)<=1/k
(1+1/(k+1))^k · (1+1/(k+1))<=(1+1/k)^k · (1+1/(k+1))
Por ser cierto par el caso k --> (1+1/k)^k<=k+1
(1+1/k)^k · (1+1/(k+1))<=(k+1)(1+1/(k+1))=k+1+1 que es lo que íbamos buscando.
Con lo que queda demostrado para el caso n
((1+1)/1)^1 <= 1+1 en este caso queda 2<=2 que es cierto
2) lo suponemos para n=k, veamos que es cierto para k+1
((k+1+1)/(k+1))^(k+1) <= k+1+1
((k+1+1)/(k+1))^(k+1)=((k+2)/(k+1))^(k+1)=(1+1/(k+1))^(k+1)=(1+1/(k+1))^k · (1+1/(k+1))
(1+1/(k+1))^k<=(1+1/k)^k ya que 1/(k+1)<=1/k
(1+1/(k+1))^k · (1+1/(k+1))<=(1+1/k)^k · (1+1/(k+1))
Por ser cierto par el caso k --> (1+1/k)^k<=k+1
(1+1/k)^k · (1+1/(k+1))<=(k+1)(1+1/(k+1))=k+1+1 que es lo que íbamos buscando.
Con lo que queda demostrado para el caso n
