Anónimo
Relación binaria de equivalencia
Se agradecería que ayudaran o explicaran este ejercicio:
Se define en RxR la relación (x,y) R (x',y') ? X-x'=2(y-y')
a) Probar que R es de equivalencia
b) Hallar las clases de (0, 0) y de (2,-1)
Gracias.
Se define en RxR la relación (x,y) R (x',y') ? X-x'=2(y-y')
a) Probar que R es de equivalencia
b) Hallar las clases de (0, 0) y de (2,-1)
Gracias.
Respuesta de canalrev
1
a)
Reflexiva
(x,y)R(x,y) ya que x-x=2(y-y) en ambos casos es 0
Simétrica
(x,y) R (x',y') ---> (x',y') R (x,y)
Partimos de que x-x'=2(y-y') si multiplicamos los dos lados de la igualdad por -1 nos queda
-x+x'=-2(y-y') o lo que es lo mismo x'-x=2(y'-y) por lo que (x',y') R (x,y)
Transitiva
(x,y) R (x',y') y (x',y') R (x'',y'') ---> (x,y) R (x'',y'')
x-x'=2(y-y')
x'-x''=2(y'-y'')
sumando las dos igualdades nos queda la igualdad
x-x'+x'-x''=2(y-y')+2(y'-y'') operando queda x-x''=2(y-y'') por lo que (x,y) R (x'',y'')
b)
clase de (0,0)={(x,y): 0-x=2(0-y)}={(x,y): -x=2(-y)}={(x,y): x=2y}={(x,y): y=x/2}
son los puntos de la recta que tiene por ecuación y=x/2
clase de (2,-1)={(x,y): 2-x=2(-1-y)}={(x,y): 2-x=-2-2y}={(x,y): 4-x=-2y}={(x,y): y=x/2 - 2}
Son los puntos de la recta que tiene por ecuación y=x/2 -2
Reflexiva
(x,y)R(x,y) ya que x-x=2(y-y) en ambos casos es 0
Simétrica
(x,y) R (x',y') ---> (x',y') R (x,y)
Partimos de que x-x'=2(y-y') si multiplicamos los dos lados de la igualdad por -1 nos queda
-x+x'=-2(y-y') o lo que es lo mismo x'-x=2(y'-y) por lo que (x',y') R (x,y)
Transitiva
(x,y) R (x',y') y (x',y') R (x'',y'') ---> (x,y) R (x'',y'')
x-x'=2(y-y')
x'-x''=2(y'-y'')
sumando las dos igualdades nos queda la igualdad
x-x'+x'-x''=2(y-y')+2(y'-y'') operando queda x-x''=2(y-y'') por lo que (x,y) R (x'',y'')
b)
clase de (0,0)={(x,y): 0-x=2(0-y)}={(x,y): -x=2(-y)}={(x,y): x=2y}={(x,y): y=x/2}
son los puntos de la recta que tiene por ecuación y=x/2
clase de (2,-1)={(x,y): 2-x=2(-1-y)}={(x,y): 2-x=-2-2y}={(x,y): 4-x=-2y}={(x,y): y=x/2 - 2}
Son los puntos de la recta que tiene por ecuación y=x/2 -2