Matriz simétrica
Hola alguien me podría ayudar . Sea A una matriz simétrica, demostrar A^2 es simétrica.
No me dan los valores de la matriz A, y la verdad estoy muy desorientada, al parecer solo tengo que resolverla con propiedades, cuando tengo que realizar operaciones es más sencillo pero últimamente me están dejando demsotraciones y cuando es eso pasa me desoriento mucho si alguien me da un consejo de como puedo mejorar eso se lo agradeceré mucho..
No me dan los valores de la matriz A, y la verdad estoy muy desorientada, al parecer solo tengo que resolverla con propiedades, cuando tengo que realizar operaciones es más sencillo pero últimamente me están dejando demsotraciones y cuando es eso pasa me desoriento mucho si alguien me da un consejo de como puedo mejorar eso se lo agradeceré mucho..
1 Respuesta
Respuesta de Fran José García
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Para comprobar esto lo puedes hacer escribiendo una matriz elemento a elemento y hacer su producto. Te muestro como y el producto con ella misma lo haces tu y veras como es simétrica, llamammos a la matrix A
a(11) a(12) ... a(1n)
a(12) a(22) ... a(2n)
... ... ... ...
a(1n) a(2n) ... a(nn)
Verás que en lugar de escribir en la segunda fila el elemento a(21) lo he escrito a(12), eso es así porque es simétrica, lo mismo ocurre con el resto. Ahora para más facilidad si quieres puedes asignar nombres a cada fila. Y entonces te quedará que
A = (
F(1)
F(2)
...
F(n))
Por lo tanto aplicamos que A · A = A · t(A), donde t(A) es la traspuesta de A, ya que al ser simétrica la traspuesta coincide con su matriz, así si multiplicas la matriz con elementos F(i), por su traspuesta te quedará una matriz de este tipo:
F(1)F(1) F(1)F(2) F(1)F(3) ... F(1)F(n)
F(2)F(1) F(2)F(2) F(2)F(3) ... F(2)F(n)
F(3)F(1) F(3)F(2) F(3)F(3) ... F(3)F(n)
.... .... .... .....
F(n)F(1) F(n)F(2) F(n)F(3) ... F(n)F(n)
Que como puedes comprobar es simétrica.
a(11) a(12) ... a(1n)
a(12) a(22) ... a(2n)
... ... ... ...
a(1n) a(2n) ... a(nn)
Verás que en lugar de escribir en la segunda fila el elemento a(21) lo he escrito a(12), eso es así porque es simétrica, lo mismo ocurre con el resto. Ahora para más facilidad si quieres puedes asignar nombres a cada fila. Y entonces te quedará que
A = (
F(1)
F(2)
...
F(n))
Por lo tanto aplicamos que A · A = A · t(A), donde t(A) es la traspuesta de A, ya que al ser simétrica la traspuesta coincide con su matriz, así si multiplicas la matriz con elementos F(i), por su traspuesta te quedará una matriz de este tipo:
F(1)F(1) F(1)F(2) F(1)F(3) ... F(1)F(n)
F(2)F(1) F(2)F(2) F(2)F(3) ... F(2)F(n)
F(3)F(1) F(3)F(2) F(3)F(3) ... F(3)F(n)
.... .... .... .....
F(n)F(1) F(n)F(2) F(n)F(3) ... F(n)F(n)
Que como puedes comprobar es simétrica.
