Necesito ayuda para resolver este ejercicio de matemáticas sobre ecuaciones
Hola espritdevi,
tengo un problema y es el siguiente;
La resolución del ejercicio siguiente no es correcta ¿por qué?
Hallar los extremos relativos y absolutos de la función
f (x, y) = senxy
en la región cerrada determinada por {0 ? X ? ?, 0 ? Y ? 1}.
Solución: Como es una región cerrada y acotada de R2, sabemos que f va a alcanzar el
máximo y el mínimo en ella y no hace falta calcular las derivadas segundas, basta con
determinar los puntos "candidatos" y calcular f en estos puntos. Así, determinamos
los extremos igualando a 0 las derivadas parciales:
fx = y cos xy = 0
fy = x cos xy = 0
=?
x = y = 0
cos xy = 0 =? Xy = ?
2
porque (x, y) deben estar en la región R = {0 ? X ? ?, 0 ? Y ? 1}. Como xy
debe verificar 0 ? Xy ? ? Por pertenecer (x, y) a R, entonces 0 ? F (x, y) ? 1.
Evidentemente en los puntos (x, y) donde xy = ?
2 , tenemos que f (x, y) = sen ?
2 = 1.
Estos puntos van a ser máximos absolutos. En (x, y) con xy = 0 (ó xy = ?) resulta
f (x, y) = sen0 = 0 (ó f (x, y) = sen? = 0, respectivamente), que es mínimo absoluto.
Luego el máximo absoluto y relativo se alcanza en los puntos (x, y) con xy = ?/2 y el
mínimo absoluto y relativo se alcanza en {(x, y) ? R/ xy = 0 ó xy = ?}.
¿Para este ejercicio no haría falta hacer la matriz Hessiana?, buenos muchas gracias por tu tiempo,
Un saludo
tengo un problema y es el siguiente;
La resolución del ejercicio siguiente no es correcta ¿por qué?
Hallar los extremos relativos y absolutos de la función
f (x, y) = senxy
en la región cerrada determinada por {0 ? X ? ?, 0 ? Y ? 1}.
Solución: Como es una región cerrada y acotada de R2, sabemos que f va a alcanzar el
máximo y el mínimo en ella y no hace falta calcular las derivadas segundas, basta con
determinar los puntos "candidatos" y calcular f en estos puntos. Así, determinamos
los extremos igualando a 0 las derivadas parciales:
fx = y cos xy = 0
fy = x cos xy = 0
=?
x = y = 0
cos xy = 0 =? Xy = ?
2
porque (x, y) deben estar en la región R = {0 ? X ? ?, 0 ? Y ? 1}. Como xy
debe verificar 0 ? Xy ? ? Por pertenecer (x, y) a R, entonces 0 ? F (x, y) ? 1.
Evidentemente en los puntos (x, y) donde xy = ?
2 , tenemos que f (x, y) = sen ?
2 = 1.
Estos puntos van a ser máximos absolutos. En (x, y) con xy = 0 (ó xy = ?) resulta
f (x, y) = sen0 = 0 (ó f (x, y) = sen? = 0, respectivamente), que es mínimo absoluto.
Luego el máximo absoluto y relativo se alcanza en los puntos (x, y) con xy = ?/2 y el
mínimo absoluto y relativo se alcanza en {(x, y) ? R/ xy = 0 ó xy = ?}.
¿Para este ejercicio no haría falta hacer la matriz Hessiana?, buenos muchas gracias por tu tiempo,
Un saludo
Respuesta de espritdevi
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No se si será problema de mi navegador, pero no se me ven bien algunos de los símbolos que has usado y por lo tanto no logro entender bien cuál es la región R ni algunos de los pasos que has realizado. De todas formas, intuyo dónde puede ser que esté tu problema. Como bien dices, al estar en una región cerrada y acotada de R^2 está asegurada la existencia de un máximo y un mínimo absolutos (Teorema de Weierstrass), pero estos no tienen porque alcanzarse necesariamente en los puntos de derivada 0, sino que pueden alcanzarse también en la frontera. O sea que los puntos de la frontera también son candidatos a extremos. Para determinar donde está el máximo y el mínimo absoluto, como bien dices, es suficiente mirar la función en los puntos candidatos y comparar los valores que salen, y tal como estás planteando el problema parece ser que te estás dejando candidatos (la frontera).
Nota: El teorema de Weierstrass dice que si tienes una función continua en un conjunto compacto (en R^n esto es equivalente a decir cerrado y acotado), esta alcanza un máximo y un mínimo absolutos sobre la región.
Observa que lo único que se le pide a la función es continuidad. No es necesario ni tan si quiera que sea derivable para que existan máximos y mínimos absolutos. Los candidatos a extremos absolutos serán:
1. Puntos de derivada nula
2. Puntos de la frontera
3. Puntos donde la función no sea derivable
Nota: El teorema de Weierstrass dice que si tienes una función continua en un conjunto compacto (en R^n esto es equivalente a decir cerrado y acotado), esta alcanza un máximo y un mínimo absolutos sobre la región.
Observa que lo único que se le pide a la función es continuidad. No es necesario ni tan si quiera que sea derivable para que existan máximos y mínimos absolutos. Los candidatos a extremos absolutos serán:
1. Puntos de derivada nula
2. Puntos de la frontera
3. Puntos donde la función no sea derivable
