Calcular la integral dela función x

Cuando gira alrededor del eje X hay que poner la función como función de X y los límites son la coordenada x

$$V=\pi\int_{x_0}^{x_1}[f(x)]^2dx$$

Cuando es el volumen entre dos funciones es la integral de la diferencia de los cuadrados, no confundir con el cuadrado de la diferencia. Si f(x) es la mayor y g(x) la menor

$$V=\pi\int_{x_0}^{x_1}([f(x)]^2-[g(x)]^2)dx$$

Estas funciones son sencillas, no haré la gráfica.

y= 4x

y=x^2

se cortan en x=0 y x=4, y la mayor en ese intervalo es 4x

$$\begin{align}&V=\pi\int_{0}^{4}[(4x)^2-(x^2)^2]dx=\\ &\\ &\pi\int_0^4(16x^2-x^4)dx =\\ &\\ &\pi\left[\frac{16x^3}{3}-\frac{x^5}{5}  \right]_0^4=\\ &\\ &\pi\left(\frac{16·4^3}{3}-\frac{4^5}{5}-0+0 \right)=\\ &\\ &\pi\left(\frac{1024}{3}-\frac{1024}{5}\right)=\\ &\\ &\frac{1024·5-1024·3}{15}\pi=\\ &\\ &\frac{2048}{15}\pi\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Todo ello en unidades cúbicas

Y eso es todo.