Calcule la siguiente serie numérica

Imagino que lo la serie telescópica vendrá detrás, ahora vamos a descomponer en fracciones simples

$$\begin{align}&\frac{4}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{a}{2n+1}+\frac{b}{2n-1}=\\ &\\ &\\ &\frac{2na-a+2nb+b}{(2n+1)(2n-1)}\\ &\\ &luego\\ &\\ &2n(a+b) -a+b=4\\ &a+b=0 \implies a=-b\\ &-a+b=4\implies 2b=4 \implies \\ &b=2,\;a=-2\\ &\\ &Luego\\ &\\ &\sum_{n=3}^{\infty}\frac{4}{(2n+1)(2n-1)}=\\ &\\ &\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{2}{2n-1}-\frac{2}{2n+1}\right)=\\ &\\ &\text {llamando } a_i = \frac{2}{2i-1} queda\\ &\\ &=a_3-a_4+a_4-a_5+a_5-a_6+...+a_n-a_{n+1}=\\ &\\ &\text{se cancelan entre sí todos salvo el primero y último}\\ &\\ &= a_3-\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\\ &\\ &\frac{2}{2·3-1}- \lim_{n\to\infty}\frac{2}{2n+1}=\frac 25 -0=\frac 25\end{align}$$

Y eso es todo.