Ejercicio de curvatura numero 12
Tengo el siguiente ejercicio de calculo de curvatura pero no se como se sacan los máximos y mínimos, es el ejercicio numero 12 de la lista que hay a continuación:
1 respuesta
valeroasm aquí esta el libro. http://es.scribd.com/doc/55487928/Calculo-Vectorial-Claudio-Pita-Ruiz y la pagina no se, el la pagina 484 esta el tema de curvatura. no me han dado una formula directa.
En la página 493 está la formula de la curvatura para ecuaciones paramétricas en el plano.
$$\begin{align}&K(t)=\frac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{\sqrt{\left[(x'(t))^2+(y'(t))^2\right]^3}}\\ &\\ &(x'(t),y'(t)) = (-a\,sent,b\,cost)\\ &\\ &(x''(t),y''(t)) = (-a\,cost,-b\,sent)\\ &\\ &k(t) =\frac{ab\,sen^2t+ab\,\cos^2t}{\sqrt{(a^2sen^2t+b^2cos^2t)^3}}=\\ &\\ &=\frac{ab}{\sqrt{(a^2sen^2t+b^2cos^2t)^3}}=\\ &\\ &\text{Como } a\gt b\\ &\\ &=\frac{ab}{\sqrt{[(a^2-b^2)sen^2t+b^2sen^t+b^2cos^2t]^3}}=\\ &\\ &\\ &=\frac{ab}{\sqrt{[(a^2-b^2)sen^2t+b^2]^3}}\\ &\\ &\end{align}$$Esta función sera mayor cuanto menor sea el denominador, cuando el seno sea 0
Luego la mayor curvatura se da en los punto t=0 y t=pi
Y será menor cuando el seno valga 1, en pi/2 y 3pi/2
Y eso es todo.
valeroasm no entiendo algo y es porque haces esta transformación de (a^2 - b^2) y todo lo que sigue en ese denominador con raíz cuadrada. es un artificio matemático? que es (a^2 - b^2) la resta de los radios o que es para que sirve que a>b. tampoco entiendo esto ultimo.
Es una forma para hacer más fácil el cálculo del máximo y del mínimo y es que cuanto menos salga la t más fácil será.
Lo que hago dentro de la raíz del denominador es tan sencillo como sumar y restar b^2·sen^2(t)
Con eso y las propiedades trigonométricas conseguimos que lo que queda dentro de la raíz sea
[(a^2-b^2)sen^2(t) + b^2]^3
Es importante que a >b para asegurarnos que (a^2-b^2)>0
Y ahora se se deducen máximos y mínimos tal como te explicaba
La curvatura es una fracción con denominador constante y es mayor cuanto menor es el denominador,
Un denominador de algo elevado a la 3/2 es menor cuanto menor es ese algo,
Ese algo sera menor cuanto menor sea la parte no fija,
De momento nos hemos quedado con (a^2 - b^2)sen^2(t)
Y como (a^2.b^2) Es positivo, eso sera menor cuanto menor sea sen^2(t)
y sen^2(t) es menor cuando t=0 y t=pi
Luego tomando el principio y el fin tenemos que la curvatura es mayor cuando t=0 y pi
Y haciendo procedimiento análogo la curvatura es menor cuando sent=1 que es cuando t =pi^2 y t = 3pi/2.
Gráficamente tiene mayor curvatura en los puntos de más a la derecha e izquierda y menor arriba y abajo.
Y eso es todo.
