Integrar la función x

Lo primero hay que hacer que el numerador tenga grado menor que el denominador

  x^2 + 1        | x^2-x
 -x^2     + x     -------
 ----             1
   0

Luego tenemos (x^2+1) / (x^2-x) = 1 + (x+1) / (x^2-x)

Mando ya esto porque últimamente están fallando los bloques de texto, asi comprobaré si se ve bien la división que he hecho.

Espera

Vale, se ha visto bien, pero varias veces me ha juntado todas la líneas y no se entendía nada.

$$\begin{align}&\int \frac{x^2+1}{x^2-x}dx=\int \left(1 +\frac{x+1}{x^2-x} \right)dx =\\ &\\ &x +\int \frac{x+1}{x^2-x}dx=\\ &\\ &x+\int \frac{x+1}{x(x-1)}dx=\\ &\\ &x+\int\left( \frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}\right)dx=\\ &\\ &\text{debe cumplirse}\\ &\\ &\frac{a(x-1)+bx}{x(x-1)}=\frac{(a+b)x-a}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x-1)}\\ &\\ &\text{luego }\\ &a=-1\\ &b=2\\ &\\ &= x-\int \frac {dx}{x}+\int \frac{2}{x-1}=\\ &\\ &x - lnx +2ln(x-1)+C\end{align}$$

Y eso es todo.