Integral triple con cambio de cartesianas a esféricas

Las funciones z=f(x, y) que se integran son:

Por arriba:

z = sqrt(2-x^2-y^2)

Esto es la ecuación de una esfera de radio sqrt(2)

Por abajo:

z = sqrt(x^2+y^2)

Es la ecuación del cono recto, en el que se generan todas las cónicas.

El objeto encerrado entre las dos superficies es como una especie de cucurucho rematado con la bola de helado.

Pero los limites en x e y hacen que el dominio en el plano XY sea el primer cuadrante del círculo de radio 1.

Para que la cosa fuese bien convendría que la circunferencia donde se cortan las superficies fuera la circunferencia de radio 1

sqrt(x^2+y^2) = sqrt(2-x^2-y^2)

x^2+y^2 = 2-x^2-y^2

2x^2+2y^2 = 2

x^2+y^2=1

Si, menos mal se cortan en una circunferencia de radio 1 a la altura

z=sqrt(x^2+y^2) = 1

Luego el volumen a calcular es el del cucurucho con bola, la cuarta parte de él.

Nótese que el eje X lo he puesto al contrario de lo normal, de derecha a izquierda, pero es que si no no se veía nada ya que los planos rojo y violeta lo tapaban.

Las coordenadas esféricas tendrán estos límites

Teta, que es el ángulo en el plano XY vale entre 0 y pi/2

Fi, que es el ángulo entre el eje z y el radio vector está entre 0 y pi/4 ya que ese es el ángulo que forma el cono recto con el eje Z.

R que es el radio vector vale entre 0 y sqrt(2) ya que ese es el radio de la esfera

Y los cambios de variable son

x = r·sen(fi)·cos(teta)

y = r sen(fi)·sen(teta)

z = r·cos(fi)

Y el jacobiano del cambio de variable es r^2·sen(fi)

Con todo esto, la integral queda así:

$$\begin{align}&\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/4}r·sen\varphi·\cos \theta·r·sen\varphi·sen \theta·r^2·sen \varphi\;d\varphi\,d\theta\,dr =\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2}\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/4}r^4·sen^3\varphi·sen\theta·\cos\theta \;d\varphi\,d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta \int_0^{\pi/4}sen^3\varphi\;d\varphi\,d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta \int_0^{\pi/4}(1-\cos^2\varphi)sen\varphi\;d\varphi\,d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &t=\cos \varphi\quad dt=-sen\varphi\; d \varphi\\ &\varphi=0\implies t=1\\ &\varphi=\frac{\pi}{4}\implies t=\frac{\sqrt 2}{2}\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta \int_1^{\frac{\sqrt 2}{2}}-(1-t^2)\;dt\,d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta \left[-t+\frac{t^3}{3}  \right]_1^{\frac{\sqrt 2}{2}}\;d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta\left(-\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac {\sqrt{2}}{12}+1-\frac 13  \right)\;d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta\left(-\frac{\sqrt 2}{2}+ \frac {\sqrt{2}}{12}+1-\frac 13  \right)\;d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{-5 \sqrt 2}{12}+\frac 23  \right)\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} sen\theta·\cos\theta\;d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{12}  \right)\int_0^{\sqrt 2} r^4\int_0^{\pi/2} \frac{sen\,2\theta}{2}\;d\theta\,dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{12}  \right)\int_0^{\sqrt 2} r^4\left[\frac{-\cos 2\theta}{4}   \right]_0^{\pi/2}dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{12}  \right)\int_0^{\sqrt 2} r^4\left(\frac 14+\frac 14   \right)_0^{\pi/2}dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{24} \right)\int_0^{\sqrt 2} r^4dr=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{24} \right)\left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^{\sqrt 2}=\\ &\\ &\\ &\left(\frac{8-5 \sqrt 2}{24}\right)\frac{4 \sqrt 2}{5}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4 \sqrt 2 -5}{15}\approx 0.0437902833\end{align}$$

Y eso es todo. En algún paso hice varias operaciones pero es que cuando se escribe mucho en el editor de fórmulas el ordenador se paraliza. Espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien, no olvides puntuar.