Anónimo
Necesito ayuda con un ejercicio matemático para la escuela
Hola experto, tengo una duda en esta ecuación diferencial, a ver si puedes acabarla .. No parece muy complicada pero es que no caigo jaja.
(x+y)^2 y' = a^2 . --- me dan como pista que haga el cambio de variable x+y=t . Y asi se convertira en ecuacion separable .
yo intento desarrollarla y me queda :
(x+y)^2 y' = a^2 ---- > (t)^2 dy/dx = a^2 , luego si t = x+y , dt = dx+dy y por lo tanto , dy = dt-dx. .. Con lo cual nos queda que :
(t)^2 (dt-dx) = a^2 dx ----> haciendo factor comun : t^2dt - t^2 dx = a^2 dx .
t^2 dt = (a^2 +t^2) dx --->y finalmente queda : (t^2/ (a^2+t^2) )dt = dx .
A lo mejor es estupidez, pero no se resolver la integral en la que t elevado a dos esta dividida por t elevado a dos más la suma de una variable al cuadrado y es ahí donde esta mi duda .
Gracias de antemano.
(x+y)^2 y' = a^2 . --- me dan como pista que haga el cambio de variable x+y=t . Y asi se convertira en ecuacion separable .
yo intento desarrollarla y me queda :
(x+y)^2 y' = a^2 ---- > (t)^2 dy/dx = a^2 , luego si t = x+y , dt = dx+dy y por lo tanto , dy = dt-dx. .. Con lo cual nos queda que :
(t)^2 (dt-dx) = a^2 dx ----> haciendo factor comun : t^2dt - t^2 dx = a^2 dx .
t^2 dt = (a^2 +t^2) dx --->y finalmente queda : (t^2/ (a^2+t^2) )dt = dx .
A lo mejor es estupidez, pero no se resolver la integral en la que t elevado a dos esta dividida por t elevado a dos más la suma de una variable al cuadrado y es ahí donde esta mi duda .
Gracias de antemano.
1 respuesta
Respuesta
1
La integral que propones se resuelve primero dividiendo el polinomio superior por el inferior, es decir t^2 / (a^2+t^2) = 1 - a^2/(a^2+t^2), esto resulta dos integrales inmediatas tal que:
x = t - a*arctag(t/a); luego deshaciendo el cambio de variable:
x = x + y - a*arctag[(x+y)/a] ---> y = a*arctag[(x+y)/a]
Un saludo, Vitolinux
x = t - a*arctag(t/a); luego deshaciendo el cambio de variable:
x = x + y - a*arctag[(x+y)/a] ---> y = a*arctag[(x+y)/a]
Un saludo, Vitolinux
Muchas Gracias !, pero aun sigo teniendo una duda sobre lo que hiciste ...
segun dices - a^2/(a^2+t^2) = - a*arctag(t/a) y no se porque
yo se que : f'(x)/raiz(1+f(x) ^2) = arctg f(x) + C -- esa es la inmediata que conozco !!
Pero no asocio el a^2 con el 1 que se le suma en el denominador de la integral inmediata que conozco .. perdona por si te doy la lata pero, no se que paso intermedio haces para pasar de la inmediata que yo conozco a la que hay en la ecuación .
¿Serias tan amable de explicarlo? . muchísimas gracias
segun dices - a^2/(a^2+t^2) = - a*arctag(t/a) y no se porque
yo se que : f'(x)/raiz(1+f(x) ^2) = arctg f(x) + C -- esa es la inmediata que conozco !!
Pero no asocio el a^2 con el 1 que se le suma en el denominador de la integral inmediata que conozco .. perdona por si te doy la lata pero, no se que paso intermedio haces para pasar de la inmediata que yo conozco a la que hay en la ecuación .
¿Serias tan amable de explicarlo? . muchísimas gracias
Eres un FENÓMENO ! Ya caí en la cuenta ... dividimos en denominador y el numerador por a^2 .. y luego multiplicamos por el denominador y numerador 1/ a ...
Muchísimas gracias monstruo gracias mil !
Muchísimas gracias monstruo gracias mil !
Te explico mejor:
Una vez divididos los polinomios obtenemos: 1 - a^2/(a^2+t^2)
Al integrar esto, la integral de uno es inmediata e igual a "t", resta calcular la integral:
integral[-a^2/(t^2+a^2)] = -a^2*integral[1/(a^2+t^2)]; si dentro de la integral dividimos tanto el numerador como el denominador por"a^2" obtendremos lo siguiente:
-a^2*integral[(1/a^2)/(1+t^2/a^2)] = -a^2*integral[(1/a^2)/(1+(t/a)^2)]; se saca fuera de la integral el numerador 1/a^2 anulando al -a^2 de fuera de la integral que son constantes ambos y se queda:
-1*Integral[1/(1+(t/a)^2)]; si multiplicamos ahora el numerador de la integral por 1/a y asu vez para contrarrestar lo multiplicamos por el inverso "a" sacando este último fuera de la integral como constante tendremos lo siguiente:
-a*Integral[(1/a)/(1+(t/a)^2)]; esta integral es asimilable a la de la arcotangente con una variable "t/a" quedando como resultado:
-a*arctag(t/a) + C (Olvidé en el desarrollo anterior incluir la constante)
Un saludo, Vitolinux
Una vez divididos los polinomios obtenemos: 1 - a^2/(a^2+t^2)
Al integrar esto, la integral de uno es inmediata e igual a "t", resta calcular la integral:
integral[-a^2/(t^2+a^2)] = -a^2*integral[1/(a^2+t^2)]; si dentro de la integral dividimos tanto el numerador como el denominador por"a^2" obtendremos lo siguiente:
-a^2*integral[(1/a^2)/(1+t^2/a^2)] = -a^2*integral[(1/a^2)/(1+(t/a)^2)]; se saca fuera de la integral el numerador 1/a^2 anulando al -a^2 de fuera de la integral que son constantes ambos y se queda:
-1*Integral[1/(1+(t/a)^2)]; si multiplicamos ahora el numerador de la integral por 1/a y asu vez para contrarrestar lo multiplicamos por el inverso "a" sacando este último fuera de la integral como constante tendremos lo siguiente:
-a*Integral[(1/a)/(1+(t/a)^2)]; esta integral es asimilable a la de la arcotangente con una variable "t/a" quedando como resultado:
-a*arctag(t/a) + C (Olvidé en el desarrollo anterior incluir la constante)
Un saludo, Vitolinux