Anónimo
Duda calculo y regla de la cadena
Hola, estoy algo perdido en calculo y me ayudaría much si alguien pudiera explicarme estos ejercicios T_T
de antemano gracias.
1.- Un objeto cae a una velocidad inversamente proporcional a raíz(s), con s=distancia a la tierra. Demuestre que la aceleración es inversamente proporcional a s^2.
2.- Observamos el lanzamiento de un cohete a 400m de distancia. Cuando se observa con un ángulo de (pi/4), el ángulo crece a razón de 10rad/min.
a)¿Con qué velocidad se eleva el cohete?
b) Si h(t) es la altura, muestre que: h(t)=400tan(?(t))
c) Use regla de la cadena para calcular d(h)/dt cuando ?=pi/4
3.- Un estanque de agua cónico tiene una altura de 3m y radio basal de 1.5m. Se saca agua a razón de 300 lts/min. Cuando la profundidad de agua es 1m,
a) ¿Con qué rapidez baja el nivel de agua?
b) si V es el volumen de agua a una altura h, deducir V=(pi/3)*((h^2)/4)*h
c) use regla de la cadena con d(V)/dt=300 para calcular d(h)/dt si h=1
de antemano gracias.
1.- Un objeto cae a una velocidad inversamente proporcional a raíz(s), con s=distancia a la tierra. Demuestre que la aceleración es inversamente proporcional a s^2.
2.- Observamos el lanzamiento de un cohete a 400m de distancia. Cuando se observa con un ángulo de (pi/4), el ángulo crece a razón de 10rad/min.
a)¿Con qué velocidad se eleva el cohete?
b) Si h(t) es la altura, muestre que: h(t)=400tan(?(t))
c) Use regla de la cadena para calcular d(h)/dt cuando ?=pi/4
3.- Un estanque de agua cónico tiene una altura de 3m y radio basal de 1.5m. Se saca agua a razón de 300 lts/min. Cuando la profundidad de agua es 1m,
a) ¿Con qué rapidez baja el nivel de agua?
b) si V es el volumen de agua a una altura h, deducir V=(pi/3)*((h^2)/4)*h
c) use regla de la cadena con d(V)/dt=300 para calcular d(h)/dt si h=1
1 Respuesta
Respuesta
1
Punto por punto:
Problema 1:
La velocidad es inversamente proporcional a la raíz de la distancia, luego:
V*raíz(s) = K; siendo "K" una constante cualquiera
si derivamos cada miembro con respecto al tiempo tendremos:
dV/dt*raíz(s) + d[raíz(s)]/dt*V = dK/dt = 0
y como dV/dt = aceleración
a*raíz(s) + [V/(2*raíz(s))]*V = 0
a*raíz(s) + V^2/[2*raíz(s)] = 0
a*raíz(s) = -V^2/[2*raíz(s)]
a = -V^2/(2*s); Como la velocidad al cuadrado es igual a =K^2/s;
a = -K^2/(2*s^2) -----> Son inversamente proporcionales "a" y "s^2", siendo -K^2/2 la constante de proporcionalidad inversa.
Problema 2:
Apartado a):
Si d = 400 m de distancia, entonces por trigonometría:
Tan[alfa(t)] = h(t) / d
Derivando respecto al tiempo obtenemos:
d[alfa(t)]/dt / [Cos[alfa(t)]]^2 = (1/d)*d[h(t)]/dt
La velocidad del cohete será dh(t)/dt = V(t) = d*d[alfa(t)]/dt / [Cos(alfa(t)]]^2
Apartado b):
De la anterior demostración, la premisa de cálculo primera era que: Tan[alfa(t)] = h(t)/d
Luego la altura h(t) = d*Tan[alfa(t)] = 400*Tan[alfa(t)]
Apartado c):
En un determinado "t", d[alfa(t)]/dt = 10 rad/min = 0,167 rad/s y alfa(t) = pi/4 rad
Luego V = 133,33 m/s = 480 Km/h
Problema 3:
Apartado a):
Si el volumen de un cono es V = 1/3*(pi*R^2*h)
Derivando ambos miembros respecto al tiempo:
dV/dt = 1/3*pi*R^2*[dh/dt]
Si sacamos agua a razón de dV/dt = -300 L/min = -0,3 m^3/min
La altura bajará a una rapidez de: dh/dt = 3*(-0,3)/[pi*1,5^2] = - 0,13 m/min
Apartado b):
De la expresión del volumen del depósito cónico, como según los datos se ve que: R = 1/2*H
Entonces sustituyendo: V = (1/3)*pi*[(h^2)/4]*h = 1/12*pi*h^3
Apartado c):
Ya se calculó antes: d[h(t)]/dt = - 0,3 m/min
Postadata: No sé a que se refiere con lo de la regla de la cadena, he hecho por medios analíticos puros.
Espero que te sea de utilidad.
Un saludo, Vitolinux
Problema 1:
La velocidad es inversamente proporcional a la raíz de la distancia, luego:
V*raíz(s) = K; siendo "K" una constante cualquiera
si derivamos cada miembro con respecto al tiempo tendremos:
dV/dt*raíz(s) + d[raíz(s)]/dt*V = dK/dt = 0
y como dV/dt = aceleración
a*raíz(s) + [V/(2*raíz(s))]*V = 0
a*raíz(s) + V^2/[2*raíz(s)] = 0
a*raíz(s) = -V^2/[2*raíz(s)]
a = -V^2/(2*s); Como la velocidad al cuadrado es igual a =K^2/s;
a = -K^2/(2*s^2) -----> Son inversamente proporcionales "a" y "s^2", siendo -K^2/2 la constante de proporcionalidad inversa.
Problema 2:
Apartado a):
Si d = 400 m de distancia, entonces por trigonometría:
Tan[alfa(t)] = h(t) / d
Derivando respecto al tiempo obtenemos:
d[alfa(t)]/dt / [Cos[alfa(t)]]^2 = (1/d)*d[h(t)]/dt
La velocidad del cohete será dh(t)/dt = V(t) = d*d[alfa(t)]/dt / [Cos(alfa(t)]]^2
Apartado b):
De la anterior demostración, la premisa de cálculo primera era que: Tan[alfa(t)] = h(t)/d
Luego la altura h(t) = d*Tan[alfa(t)] = 400*Tan[alfa(t)]
Apartado c):
En un determinado "t", d[alfa(t)]/dt = 10 rad/min = 0,167 rad/s y alfa(t) = pi/4 rad
Luego V = 133,33 m/s = 480 Km/h
Problema 3:
Apartado a):
Si el volumen de un cono es V = 1/3*(pi*R^2*h)
Derivando ambos miembros respecto al tiempo:
dV/dt = 1/3*pi*R^2*[dh/dt]
Si sacamos agua a razón de dV/dt = -300 L/min = -0,3 m^3/min
La altura bajará a una rapidez de: dh/dt = 3*(-0,3)/[pi*1,5^2] = - 0,13 m/min
Apartado b):
De la expresión del volumen del depósito cónico, como según los datos se ve que: R = 1/2*H
Entonces sustituyendo: V = (1/3)*pi*[(h^2)/4]*h = 1/12*pi*h^3
Apartado c):
Ya se calculó antes: d[h(t)]/dt = - 0,3 m/min
Postadata: No sé a que se refiere con lo de la regla de la cadena, he hecho por medios analíticos puros.
Espero que te sea de utilidad.
Un saludo, Vitolinux