¿Por qué el factorial de 0 es 1?

Tu respuesta tiene que ver con la función gamma. Por definición 0! =1, pero si lo quieres comprobar, hay una manera sencilla, considera lo siguiente:
(n+k)!=(n+k)(n+k-1)...(n+k-k)(n-1)(n-2)...(n-(n-1))
Y si te das cuenta,
(n+k)!=(n+k)(n+k-1)...(n+1)n!
Así que
(n+k)!/n!=(n+k)(n+k-1)...(n+1)
Si hacemos n=0, para ver que sucede, obtenemos:
k!/0!=(k)(k-1)...(2)(1)=k!
Y lo anterior pasa si y solo si 0! =1.
Por lo que queda mostrado lo que necesitas saber. Si necesitas algo más solo escríbeme, recuerda que soy alafa.