Problema de Geometría
Las bases de un trapecio miden 6 y 14, los ángulos adyacentes a la base mayor son complementarios. Hallar el segmento que une los puntos medios de las bases.
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Respuesta de leojp24
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Como estas paisano... a ver si te puedo explicar el problema ... claro que sin poder trazar una gráfica quizás sea difícil.. pero lo intentare...
Tienes el trapecio... y de cada extremo de la base menor de este trazas una altura... con lo que el trapecio quedara dividido en dos triángulos rectángulos... y un rectángulo, bueno trabajemos en el triangulo rectángulo de la izquierda... al angulo que se forma conla base mayor y el lado no paralelo adyacente llamémosle "A" y al otro osea su complemento llamémosle "B", ahora al cateto que se le opone a "A" asignemosle el valor de "a", y al que se le opone a "B".. asignemosle el valor de "b", te darás cuenta que el valor de "a", es la altura de nuestro trapecio.. bueno en el triangulo rectángulo de la derecha... el angulo que se forma entre la base mayor y el lado no paralelo adyacente es "B", debido a que or datos del problema... los ángulos adyacentes a la base mayor son complementarios(y en el triangulo rectángulo de la izquierda podes ver que "A+B =90"), bueno debido a que estos dos triángulos tienes los mismos ángulos decimos que son semejantes(ojo... ten cuidado que semejante no significa congruente)... ahora seguimos en el triangulo rectángulo de la derecha... al cateto que se le opone al angulo "B" demosle el valor de "b.k", y al cateto que se le opone al angulo "A" demosle el valor de "a.k" (donde "k" es una constante que se obtiene al dividir los lados correspondientes de estos dos triángulos rectángulos por ser semejantes ), bien ahora... de este triangulo te darás cuenta que :
a=b.k, entonces k = a/b .....(I)
Ahora trazas el segmento que une el punto medio de la base menor y el punto medio de la base mayor... al cual llamaremos "x", y ese es el valor que queremos hallar... ahora desde el punto medio de la base menor trazas una altura que es la altura del trapecio.. y trazas otra altura desde el punto medio de la base mayor(que también es la altura del trapecio)... ahora te darás cuenta que el segmento "x"... queda dentro de estas dos alturas formando una diagonal en este rectángulo formado... ahora esa diagonal que es el segmento "x" forma dos triángulos rectángulos... trabajemos en uno de ellos... se forma un triangulo rectángulo con un cateto en la base mayor... y cuyo otro cateto es la altura del trapecio... y cuya hipotenusa... lógicamente es el segmento "x", ¿ahora bien cuanto vale el cateto formado por un segmento de la base mayor del trapecio?... si te fijas, en la figura formada es igual a (7-b-3)=(4-b), ahora aplicando pitágoras tenemos:
(4-b)^2 + a^2 = x^2
16+b^2-8b+a^2=x^2......(II)
Ahora si sumas los catetos de los triángulos rectángulos de la derecha y de la izquierda (es decir los triángulos en los que trabajamos inicialmente)formados por segmentos de la base mayor tendrás...
b + ak = 8 ......(III)
ahora en la acuacion (III)reemplazas con (II) y tienes:
b + a(a/b)=8
b^2+a^2=8b.....(IV)
ahora reemplazas (IV) en (II) y obtendras:
16 + 8b - 8b = x^2
x=4
Bueno finalmente obtienes que el segmento "x" es "4".
Espero hallas logrado entender las indicaciones.. porque sin poder realizar un gráfico en el cual apoyarse es dificl desarrollar una explicación clara... si tuvieras alguna interrogante .. no dudes en formularla... bueno suerte y bye
Tienes el trapecio... y de cada extremo de la base menor de este trazas una altura... con lo que el trapecio quedara dividido en dos triángulos rectángulos... y un rectángulo, bueno trabajemos en el triangulo rectángulo de la izquierda... al angulo que se forma conla base mayor y el lado no paralelo adyacente llamémosle "A" y al otro osea su complemento llamémosle "B", ahora al cateto que se le opone a "A" asignemosle el valor de "a", y al que se le opone a "B".. asignemosle el valor de "b", te darás cuenta que el valor de "a", es la altura de nuestro trapecio.. bueno en el triangulo rectángulo de la derecha... el angulo que se forma entre la base mayor y el lado no paralelo adyacente es "B", debido a que or datos del problema... los ángulos adyacentes a la base mayor son complementarios(y en el triangulo rectángulo de la izquierda podes ver que "A+B =90"), bueno debido a que estos dos triángulos tienes los mismos ángulos decimos que son semejantes(ojo... ten cuidado que semejante no significa congruente)... ahora seguimos en el triangulo rectángulo de la derecha... al cateto que se le opone al angulo "B" demosle el valor de "b.k", y al cateto que se le opone al angulo "A" demosle el valor de "a.k" (donde "k" es una constante que se obtiene al dividir los lados correspondientes de estos dos triángulos rectángulos por ser semejantes ), bien ahora... de este triangulo te darás cuenta que :
a=b.k, entonces k = a/b .....(I)
Ahora trazas el segmento que une el punto medio de la base menor y el punto medio de la base mayor... al cual llamaremos "x", y ese es el valor que queremos hallar... ahora desde el punto medio de la base menor trazas una altura que es la altura del trapecio.. y trazas otra altura desde el punto medio de la base mayor(que también es la altura del trapecio)... ahora te darás cuenta que el segmento "x"... queda dentro de estas dos alturas formando una diagonal en este rectángulo formado... ahora esa diagonal que es el segmento "x" forma dos triángulos rectángulos... trabajemos en uno de ellos... se forma un triangulo rectángulo con un cateto en la base mayor... y cuyo otro cateto es la altura del trapecio... y cuya hipotenusa... lógicamente es el segmento "x", ¿ahora bien cuanto vale el cateto formado por un segmento de la base mayor del trapecio?... si te fijas, en la figura formada es igual a (7-b-3)=(4-b), ahora aplicando pitágoras tenemos:
(4-b)^2 + a^2 = x^2
16+b^2-8b+a^2=x^2......(II)
Ahora si sumas los catetos de los triángulos rectángulos de la derecha y de la izquierda (es decir los triángulos en los que trabajamos inicialmente)formados por segmentos de la base mayor tendrás...
b + ak = 8 ......(III)
ahora en la acuacion (III)reemplazas con (II) y tienes:
b + a(a/b)=8
b^2+a^2=8b.....(IV)
ahora reemplazas (IV) en (II) y obtendras:
16 + 8b - 8b = x^2
x=4
Bueno finalmente obtienes que el segmento "x" es "4".
Espero hallas logrado entender las indicaciones.. porque sin poder realizar un gráfico en el cual apoyarse es dificl desarrollar una explicación clara... si tuvieras alguna interrogante .. no dudes en formularla... bueno suerte y bye
