Ayuda para resolver un problema de matemáticas.
Hola podrías ayudarme a resolver este problema de suma urgencia en lo que se refiere al tiempo.
De antemano agradezco tu ayuda
Demostrar que para todo n que pertenece a los números naturales y pra todo por que pertenece a los números reales
|sen(nx)|es menor o igual que n|senx|
donde "||" es valor absoluto
De antemano agradezco tu ayuda
Demostrar que para todo n que pertenece a los números naturales y pra todo por que pertenece a los números reales
|sen(nx)|es menor o igual que n|senx|
donde "||" es valor absoluto
1 Respuesta
Respuesta de gilillo
1
Para esta demostración lo haremos por "inducción matemática". La inducción matemática consiste en 2 pasos: el primer paso es demostrar que tu problema se cumple para el primer "n", en nuestro caso n=1; el segundo paso de la inducción matemática es suponiendo que sea valida la expresión en n=m, demostrar que también es valida en n=m+1.
Empezamos con le paso 1:
Tu expresión es:
En n=1 queda
sen(x) = sen(x)
por lo tanto terminamos el paso 1.
Paso 2:
Supondremos que es cierto en n=m; partimos de:
|sen(mx)| <= |msen(x)|
A continuación sumamos |sen(x)| en ambos lados, como es positivo se conserva la desigualdad
|sen(mx)| + |sen(x)| <= |msen(x)| + |sen(x)|
Ahora, del lado derecho factorizamos y dado que m, y m+1 son positivos pueden entrar dentro.
|sen(mx)| + |sen(x)| <= |(m+1)sen(x)|
Ahora dado que |cos(x)|<=1 y que |cos(mx)|<=1, es valido transformar el lado izquierdo en:
|sen(mx)|*|cos(x)| + |sen(x)|*|cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
Ahora, de acuerdo a las leyes de la funcion "valor absoluto": |a + b| <= |a|+|b|, y |a||b|=|ab| entonces:
|sen(mx)*cos(x)| + |sen(x)*cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
luego
|sen(mx)*cos(x) + sen(x)*cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
Finalmente usaremos la formula para el seno de la suma de dos angulos
sen(a+b) = sen(a)*cos(b) + sen(b)*cos(a)
en nuestro caso a=mx, y b=x, sustituyendo nos queda:
|sen(mx+x)| <= |(m+1)sen(x)|
y como mx+x=(m+1)x
|sen((m+1)x)| <= |(m+1)sen(x)|
Partimos de suponer la desigualdad en n=m, y llegamos a que es valida en m=m+1, por lo tanto queda demostrado que
|sen(nx)| <= |nsen(x)|
Empezamos con le paso 1:
Tu expresión es:
En n=1 queda
sen(x) = sen(x)
por lo tanto terminamos el paso 1.
Paso 2:
Supondremos que es cierto en n=m; partimos de:
|sen(mx)| <= |msen(x)|
A continuación sumamos |sen(x)| en ambos lados, como es positivo se conserva la desigualdad
|sen(mx)| + |sen(x)| <= |msen(x)| + |sen(x)|
Ahora, del lado derecho factorizamos y dado que m, y m+1 son positivos pueden entrar dentro.
|sen(mx)| + |sen(x)| <= |(m+1)sen(x)|
Ahora dado que |cos(x)|<=1 y que |cos(mx)|<=1, es valido transformar el lado izquierdo en:
|sen(mx)|*|cos(x)| + |sen(x)|*|cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
Ahora, de acuerdo a las leyes de la funcion "valor absoluto": |a + b| <= |a|+|b|, y |a||b|=|ab| entonces:
|sen(mx)*cos(x)| + |sen(x)*cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
luego
|sen(mx)*cos(x) + sen(x)*cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
Finalmente usaremos la formula para el seno de la suma de dos angulos
sen(a+b) = sen(a)*cos(b) + sen(b)*cos(a)
en nuestro caso a=mx, y b=x, sustituyendo nos queda:
|sen(mx+x)| <= |(m+1)sen(x)|
y como mx+x=(m+1)x
|sen((m+1)x)| <= |(m+1)sen(x)|
Partimos de suponer la desigualdad en n=m, y llegamos a que es valida en m=m+1, por lo tanto queda demostrado que
|sen(nx)| <= |nsen(x)|
Hola, qué buena solución pero lo que no me queda muy claro es esto:
Ahora dado que |cos(x)|<=1 y que |cos(mx)|<=1, es válido transformar el lado izquierdo en:
|sen(mx)|*|cos(x)| + |sen(x)|*|cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
¿Cómo es posible afirmar eso?, y si no fuera mucha molestia podrías citarme algunas web sites o enviarme algunos documentos donde se traten estos ejercicios de demostración ya que me serviría de mucho para mi examen en la universidad.
Gracias de antemano.
Ahora dado que |cos(x)|<=1 y que |cos(mx)|<=1, es válido transformar el lado izquierdo en:
|sen(mx)|*|cos(x)| + |sen(x)|*|cos(mx)| <= |(m+1)sen(x)|
¿Cómo es posible afirmar eso?, y si no fuera mucha molestia podrías citarme algunas web sites o enviarme algunos documentos donde se traten estos ejercicios de demostración ya que me serviría de mucho para mi examen en la universidad.
Gracias de antemano.
Muchas gracias por todo.
Supongamos que tienes una desigualdad de la forma:
|A| <= |B|
Ahora supongamos que tenemos un número |C|<=1
NOtamos que:
|C|*|A|<=|A|
y Como |A| <= |B|, finalemte decimos;
|C|*|A| <= |B|
Que es exactamente lo que hice, nada más que yo en realidad lo hice en dos partes (para 2 términos), a uno lo multiplique por |cos(nx)|, y al otro por |cos(x)|.
Respecto a lo que me pides, la verdad no conozco webs donde existan ejercicio de este tipo, ni tengo documentos, lo que se es lo que aprendí en la escuela y lo único que tengo es mi librito de tablas y fórmulas matemáticas, que es donde encontré las identidades trigonométricas que utilice.
|A| <= |B|
Ahora supongamos que tenemos un número |C|<=1
NOtamos que:
|C|*|A|<=|A|
y Como |A| <= |B|, finalemte decimos;
|C|*|A| <= |B|
Que es exactamente lo que hice, nada más que yo en realidad lo hice en dos partes (para 2 términos), a uno lo multiplique por |cos(nx)|, y al otro por |cos(x)|.
Respecto a lo que me pides, la verdad no conozco webs donde existan ejercicio de este tipo, ni tengo documentos, lo que se es lo que aprendí en la escuela y lo único que tengo es mi librito de tablas y fórmulas matemáticas, que es donde encontré las identidades trigonométricas que utilice.
