Distribución de Poisson
Buenos días.
Intentando resolver este otro ejercicio, me salen resultados un tanto extraños.
En una fabrica de ordenadores se produce frecuentemente interrupciones de fluido eléctrico, este tipo de averías se ajusta a una Poisson de parámetro 2 averías al mes.
Si se admite independencia entre el numero de averías de un mes a otro. ¿Cual es la probabilidad de que durante 10 años haya mas de 50 meses con exactamente una avería?
Gracias de antemano.
Un Saludo.
1 Respuesta
Recuerda que en un ejercicio anterior ya habíamos encontrado la probabilidad de que hubiera exactamente una avería al mes
P(1 avería exacta al mes) = e^(-2)·2^1/ 1! = 2e^(-2) = 0.2706705665
En 10 años hay 120 meses.
Montamos una binomial con n=120 elementos y con probabilidad de acierto p=0.2706705665
Las cuentas con la fórmula de la distribución binomial serían prácticamente imposibles de hacer a mano, se podrían hacer con ordenador si acaso. Otra posibilidad sería usar un programa de estadística o una hoja de Excel o parecido.
Pero lo que yo creo que quieren que hagas es que uses la aproximación a una binomial por una distribución normal.
Dada una binomial B(n, p) si n >30 y p no es muy grande ni muy pequeño se puede aproximar mediante una normal N(np, sqrt(np(1-p)). Donde sqrt significa raíz cuadrada.
Entonces en nuestro caso la normal tendrá estos parámetros
media = np = 120(0.2706705665) = 32.48046798
desviación = sqrt(np(1-p)) = sqrt(2368896131) = 4.867130706
Y para los cálculos de probabilidad de intervalos enteros se toman los intervalos entre números intermedios según sean cerrados o abiertos. En concreto, para que la binomial valga mas de 50 se aproxima mediante la normal entre 50.5 e infinito. Luego es normal habrá que tipificarla restando la media y dividiendo por la desviación para obtener una N(0,1)
P(N>50.5) = P((N-32.48046798)/4.867130706 > 3.70229055) = 1 - P(Z <= 3.70229055)
Esa Z=N-media/desviación ya es la N(0,1) que decía y podemos buscar su valor en una tabla.
Las tablas habituales(o al menos la mía) terminan en 3.49 con valor 0.9998, ya por encima se considera una probabilidad prácticamente 1. Antes de los rodenadores la respuesta sería una cantidad entre 0.9998 y 1, con lo cual
P(Mas de 50 meses con 1 avería exacta) = entre 0 y 0.002
Hoy en día podemos afinar más la cuenta si usamos un programa
P(N>50.5) = 1 - 0,9998931691 = 0,0001068309
Pero todo eso es la aproximación mediante la normal. La respuesta exacta hecha con ordenador en LibreOffice Calc es
=1-DISTR.BINOM(50;120;0,2706705665;1) = 0,000190772
Bastante parecida pero no del todo.
Y eso es todo.
