Distribuciones de probabilidad multivariantes, 5,6 teoremas especiales.

a)

$$\begin{align}&E(Y_1-Y_2)= \int_0^1\int_0^1(y_1-y_2)dy_2dy_1 =\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left[ y_1y_2-\frac{y_2^2}{2} \right]_0^1dy_1=\int_0^1\left(y_1-\frac 12 \right)dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{y_1^2}{2}-\frac{y_1}{2} \right]_0^1=0\end{align}$$

Bueno eso es por definición, pero podría haberse hecho muy fácilmente. Y1, Y2 son variables intercambiables, nada diferencia a una de otra en la función de densidad, luego tendrán la misma esperanza

E(Y1)=E(Y2)

E(Y1-Y2) = E(Y1)-E(Y2) = 0

Mejor vamos a calcular la esperanza de Y1 para poder usar los teoremas especiales

$$\begin{align}&E(Y1)=\int_0^1\int_0^1y1 dy_2dy_1= \\ &\int_0^1\left[y_1y_2  \right]_0^1dy_1=\int_0^1y1dy_1 =\\ &\left[ \frac{y1^2}{2}\right]_0^1=\frac 12\end{align}$$

Y la E(Y2) se hace análogamente y es 1/2 también.

Con esto resolvemos asi:

E(Y1-Y2) = E(Y1) - E(Y2) = 1/2 - 1/2 = 0

b) El teorema 5.9 dice que si g es una función que solo depende de Y1 y h solo depende de Y2 entonces

E[g(Y1)·h(Y2)] = E[g(Y1)]·E[h(Y2)]

luego

E[Y1·Y2] = E[Y1]·E[Y2]

Y en nuestro caso

E[Y1·Y2] = (1/2)(1/2) = 1/4

c) E[(Y1)^2 + (Y2)^2]

No hay ningún teorema especial para la esperanza del cuadrado de una función. Unicamente podremos emplear el de la suma y usaremos que las dos variables son indistinguibles.

$$\begin{align}&E[Y_1^2]=\int_0^1\int_0^1y_1^2dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1\left[ y_2y_1^2\right]_0^1dy_1=\int_0^1y_1^2dy_1=\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{y_1^3}{3}\right]_0^1=\frac 13\end{align}$$

Y por analogía

E[(Y2)^2] = 1/3

luego

E[(Y1)^2 + (Y2)^2] = E[(Y1)^2] + E[(Y2)^2] = 1/3 + 1/3 = 2/3

d) V(Y1·Y2) = E[(Y1·Y2)^2] - [E(Y1·Y2)]^2 =

E[(Y1)^2 · (Y2)^2] - (1/4)^2 =

E[(Y1)^2] · E[(Y2)^2] - 1/16 =

(1/3)(1/3) - 1/16 = 1/9 - 1/16 = (16-9) / 144 = 7 / 144

Y eso es todo.