Ayuda con Limites

Hola le tengo una ultima pregunta de limites por favor si es tan amable de ayudarme con esta. Gracias
f(x)= (x-2)/(x^2-4) ; si x diferente a 2
= 4 ; si x=2
Analizar la continuidad de f en el punto x=2. Si es discontinuo, clasificar su discontinuidad.
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2 respuestas

Respuesta
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Que bueno que te sirvió la respuesta anterior.
1...
Primero te explico como resolver el límite:
Fíjate que:
(x^2-4)=(x+2)(x-2)
Reemplaza lo anterior en el límite:
lim_{x->2}(x-2)/(x^2-4)
=lim_{x->2}(x-2)/[(x-2)(x+2)]
=lim_{x->2}(1/(x+2)=1/4
2....
Ahora se debe analizar si f satisface las condiciones para ser continua en x = 2.
es decir:
i) f(2)=4 (Existe) ok! :)
ii) lim_{x->2-}f(x)
=lim_{x->2+}f(x)
=lim_{x->2}f(x)
=1/4 (Existe) ok! :)
iii) Pero f(2)=4 es distinto de
lim_{x->2}f(x)=1/4
Por lo tanto la función no es continua en x=2.
3.....
Pero como el límite existe (es un número finito), se tiene que es una DISCONTINUIDAD REMOVIBLE, ya que basta redefinir la función de la siguiente forma para que sea continua:
f(x)=
= 1/4 ; si x=2
=(x-2)/(x^2-4) ; en otro caso
¿Todo ok?
Como siempre, si te quedan dudas preguntas nomas, de lo contrario te pido no dejes de evaluar mi respuesta,
Éxito,
Mathtruco.
Respuesta
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Para estudiar la continuidad se utilizan límites laterales: primero suponer que por tiende a 2 pero por < 2, y luego suponer que x tiende a 2 pero x > 2 (para poder comprobar signos).
(1)Izquierda: x->2 y x<2:
lim (x-2)/(x^2-4)=
(-inf/-inf: regla de L'Hopital)
lim 1/2x = 1/4
(2)Derecha: x->2 y x>2:
lim (x-2)/(x^2-4)=
(Esta vez es +inf/+inf, porque x>2, pero es aplicable la regla de L'Hopital) =
lim 1/2x = 1/4
Luego hay una discontinuidad evitable porque la podemos evitar cambiando el valor de la función en x=2 al número 1/4.
DM

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