Valores de Funciones trigonométricas
Saludos eudemo:
Por favor pretendo obtener el favor de seno de 12º15', sin recurrir a las tablas con los valores preestablecidos ni tampoco a las funciones de cualquier programa que ya los tiene, debido a que estoy aprendiendo a programar y necesito el algoritmo, lo único que he podido encoentrar es para los grados 0º, 30º, 45º, y 60º de las 6 principales funciones, y además también requiero hacer lo inverso por ejemplo si tengo el valor de seno 0.87, a cuando grados y minutos equivale, ya consulte bastantes libros de trigonometría y en ninguno he encontrado cómo hacerlo,
Gracias por toda la yuda que me puedas brindar
Saludos
Por favor pretendo obtener el favor de seno de 12º15', sin recurrir a las tablas con los valores preestablecidos ni tampoco a las funciones de cualquier programa que ya los tiene, debido a que estoy aprendiendo a programar y necesito el algoritmo, lo único que he podido encoentrar es para los grados 0º, 30º, 45º, y 60º de las 6 principales funciones, y además también requiero hacer lo inverso por ejemplo si tengo el valor de seno 0.87, a cuando grados y minutos equivale, ya consulte bastantes libros de trigonometría y en ninguno he encontrado cómo hacerlo,
Gracias por toda la yuda que me puedas brindar
Saludos
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
Para aproximar por computadora los valores del seno de un ángulo podemos usar su desarrollo en serie de Taylor:
seno(x) = x- (x^3)/3! + (x^5)/5! -+ (x^7)/7! ...
Cuanto más términos se tomen, mejor es la aproximación.
Para la función inversa, es decir el arco seno el desarrollo es :
arc Sin(x) = x + (1 / 2) * (x^3 / 3) + ((1 * 3) / (2 * 4)) * (x^5 / 5)
+ ((1 * 3 * 5) / (2 * 4 * 6)) * (x^7 / 7) + ...
- - - - - - - - - -
Nota:
En estas fórmulas ángulo por debe estar expresado en radianes:
x = ángulo en grados * Pi/180
ángulo en grados = x 180/Pi
Por supuesto que el ángulo en grados incluye su fracción decimal. Por ejemplo 12º15' son 12,25 º
- - - - - - - - - - - - - -
Geométricamente se puede deducir el valor del seno y del coseno en forma exacta para algunos ángulos.
Por ejemplo a partir del la diagonal del cuadrado se llega a:
sen 45º = Raíz(2) / 2
Esto surge geométricamente calculando la diagonal del cuadrado por el teorema de Pitágoras. No olvidemos que la raíz de 2 es un numero irracional. Al tener infinitos dígitos que no puede almacenarse en numéricamente a menos que se lo tome en forma aproximada.
Con el triangulo equilátero se llega a:
sen 60º = cos 30º =Raiz(2)/2
Con el pentágono se llaga a:
sen18º = cos 72º = fi/2
sen36º = cos54º=fi Raíz(1-fi2/2
Donde fi es el numero de oro = [Raíz(5)-1]/2
Geométricamente también se deducen fórmulas para las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos de ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad .
El coseno del ángulo mitad se puede calcula con:
cos alfa/2 = Raíz[(cos(alfa)+1) / 2]
No se si tu pregunta buscaba encontrar de esa manera el seno de 12º15'. Específicamente de ese valor (12º15') no encontré ninguna figura geométrica que me lo permita. Por ejemplo con la fórmula para el ángulo mitad se pueden calcular a partir 30º el seno de 15º el del 7,5º (7º30') y 3,75 (3º45')
Como ejemplo te digo lo que intenté:
Con las funciones de 18º se calculan las 9º
Sumando 9º+3º45' se obtiene 12º75' que no es el valor que me pides. En realidad como 30, 36, 45 y 60 son todos múltiplos de tres solo no se puden obtener valores que no son no lo son. Hay fórmulas para obtener las funciones trigonométricas del ángulo dividido por tres pero no se pueden aplicar porque requieren resolver ecuaciones cúbicas y paradójicamente las ecuaciones cubicas requieren usar funciones trigonometricaa ! ¡ .
Cordiales saludos. Eudemo
seno(x) = x- (x^3)/3! + (x^5)/5! -+ (x^7)/7! ...
Cuanto más términos se tomen, mejor es la aproximación.
Para la función inversa, es decir el arco seno el desarrollo es :
arc Sin(x) = x + (1 / 2) * (x^3 / 3) + ((1 * 3) / (2 * 4)) * (x^5 / 5)
+ ((1 * 3 * 5) / (2 * 4 * 6)) * (x^7 / 7) + ...
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Nota:
En estas fórmulas ángulo por debe estar expresado en radianes:
x = ángulo en grados * Pi/180
ángulo en grados = x 180/Pi
Por supuesto que el ángulo en grados incluye su fracción decimal. Por ejemplo 12º15' son 12,25 º
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Geométricamente se puede deducir el valor del seno y del coseno en forma exacta para algunos ángulos.
Por ejemplo a partir del la diagonal del cuadrado se llega a:
sen 45º = Raíz(2) / 2
Esto surge geométricamente calculando la diagonal del cuadrado por el teorema de Pitágoras. No olvidemos que la raíz de 2 es un numero irracional. Al tener infinitos dígitos que no puede almacenarse en numéricamente a menos que se lo tome en forma aproximada.
Con el triangulo equilátero se llega a:
sen 60º = cos 30º =Raiz(2)/2
Con el pentágono se llaga a:
sen18º = cos 72º = fi/2
sen36º = cos54º=fi Raíz(1-fi2/2
Donde fi es el numero de oro = [Raíz(5)-1]/2
Geométricamente también se deducen fórmulas para las funciones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos de ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad .
El coseno del ángulo mitad se puede calcula con:
cos alfa/2 = Raíz[(cos(alfa)+1) / 2]
No se si tu pregunta buscaba encontrar de esa manera el seno de 12º15'. Específicamente de ese valor (12º15') no encontré ninguna figura geométrica que me lo permita. Por ejemplo con la fórmula para el ángulo mitad se pueden calcular a partir 30º el seno de 15º el del 7,5º (7º30') y 3,75 (3º45')
Como ejemplo te digo lo que intenté:
Con las funciones de 18º se calculan las 9º
Sumando 9º+3º45' se obtiene 12º75' que no es el valor que me pides. En realidad como 30, 36, 45 y 60 son todos múltiplos de tres solo no se puden obtener valores que no son no lo son. Hay fórmulas para obtener las funciones trigonométricas del ángulo dividido por tres pero no se pueden aplicar porque requieren resolver ecuaciones cúbicas y paradójicamente las ecuaciones cubicas requieren usar funciones trigonometricaa ! ¡ .
Cordiales saludos. Eudemo
