Geometría analítica

Hola Soy de Argentina, y quisiera preguntarte como se calcula la distancia entre dos rectas en R3.
Desde ya muchas gracias por tu tiempo.
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1 respuesta

Respuesta
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La distancia entre rectas alabeadas es la longitud del menor de los segmentos que van de una recta a la otra. Tenemos la longitud mínima cuando este segmento es perpendicular a las dos rectas.
Sea la recta :
(x-Xa)/m1=(y-Ya)/m2=(z-Za)/m3
Es decir la recta ra que pasa por el punto (Xa;Ya;Za)
Y tiene cosenos directores m1/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
Y la recta :
(x-Xb)/n1=(y-Yb)/n2=(z-Zb)/n3
Es decir la recta rb que pasa por el punto (Xb;Yb;Zb)
Y tiene cosenos directores n1/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
El vector de
(Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb)
Evidentemente va de la recta ra hasta la recta rb
Lo que pasa es que este vector no es necesariamente perpendicular a ra y a rb
Si lo fuera su modulo seria la distancia entre las rectas .
Tenemos esa distancia proyectando este segmento sobre la perpendicular a ambas rectas.
Esta perpendicular la obtenemos con el producto vectorial de los vectores en la dirección de las rectas.
Vector m= (m1;m2;m3)
Vector n=(n1;n2;n3)
Entonces para tener un versor lo divido al producto vectorial por su modulo
Es decir
mxn/|mxn|
Este versor lo multiplico escalarmente por (Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb)
(Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb).mxn/|mxn|
Y esa es la distancia entre las recta.
Eudemo
Mirando cosas viejas encontré que hace un tiempo me hicieron la misma pregunta En ese momento la respondí con más detalle.
Si bien tu pregunta está contestada no me cuesta nada enviarte esta otra respuesta
Pregunta de:Paloma3442
Geometría Analítica (25/08/05)
Hola, quisiera preguntarte como se calcula la distancia entre dos rectas en R3.
Respuesta de eudemo (30/08/05)
La distancia entre rectas alabeadas es la longitud del menor de los segmentos que van de una recta a la otra. Dicha longitud es mínima cuando el segmento es perpendicular a las dos rectas.
Sea la recta ra:
(x-Xa)/m1=(y-Ya)/m2=(z-Za)/m3
La recta ra que pasa por el punto (Xa;Ya;Za) y sus cosenos directores son:
m1/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m2/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
m3/(m1^2+m2^2+m3^2)^(1/2)
Sea la recta rb::
(x-Xb)/n1=(y-Yb)/n2=(z-Zb)/n3
La recta rb que pasa por el punto (Xb;Yb;Zb) y sus cosenos directores son:
n1/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n2/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
n3/(n1^2+n2^2+n3^2)^(1/2)
El vector (Para-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) va de la recta ra hasta la recta rb.
Este vector no es necesariamente perpendicular a ra y a rb
Si lo fuera su módulo seria la distancia entre las rectas .
Obtendremos esa distancia proyectando el segmento sobre la perpendicular a ambas rectas.
La perpendicular común la obtenemos haciendo el producto vectorial: m^n, de los vectores directores de las rectas, donde:
Vector m= (m1;m2;m3)
Vector n=(n1;n2;n3)
Ahora para tener un versor lo dividimos el producto vectorial por su módulo:
Versor =m^n/|m^n|
Este versor lo multiplicamos escalarmente por el vector (Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb)
(Xa-Xb ; Ya-Yb ; Za-Zb) * m^n/|m^n|
Y esa es la distancia entre las recta.
Eudemo

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