Necesito ayuda para resolver este problema de circulación eléctrica
Una bobina plana circular, de 20 cm de diamétro y con 100 vueltas de alambre, se hace girar a 2400 rev/min en un campo magnético donde B=0.25 weber/m>2. Encontrar: A) la fem máxima producida, y B) el voltaje medio cuadrático.
"Deseo ver si es posible plantear la fórmula para sustituir los datos directamente ya que las respectivas soluciones son A)197 voltios y B) 140 voltios, pero no se como llegar a ellos, Gracias"
"Deseo ver si es posible plantear la fórmula para sustituir los datos directamente ya que las respectivas soluciones son A)197 voltios y B) 140 voltios, pero no se como llegar a ellos, Gracias"
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
La fuerza electromotriz (fem), producida sobre N espiras circulares de radio r que giran en el seno de un campo magnético B a una velocidad W es, como ahora comprobaremos
fem = V(t)=N*Pi*r^2*B*W*sen(W*t)
La fuerza electromotiz producida por una superficie cerrada en el seno de un campo magnético es menos la derivada del flujo magnético que atraviesa la superficie con respecto al tiempo (ley de Faraday), o sea
fem = V(t)=-df/dt
Si tenemos N superficies juntas ( N espiras), el flujo total será
V(t) = -N*df/dt
Por otra parte, la definición de flujo magnético es el producto escalar del campo magnético por el vector superficie ES que define a la misma, o sea, teniendo en la definición de producto escalar
f = B*S*cosalfa -->flujo magnético
Siendo
S = Pi*r^2 --> superficie de una espira
alfa = W*t --> ángulo entre B y S
De esta forma
f = B*S*cosalfa
f = B*Pi*r^2*cos(w*t)
Derivando respecto al tiempo
df/dt = -B*Pi*r^2*W*sen(w*t)
Luego la fem será
fem = V(t) = -N*df/dt
V(t) = N*Pi*r^2*B*W*sen(W*t)
Esta fuerza electromotriz es variable con el tiempo, y creará una corriente inducida variable con el tiempo de forma sinusoidal ( corriente alterna).
El valor máximo que puede tomar, o sea cuando el sen(w*t) = 1, será la tensión de pico
Vo = N*Pi*r^2*B*W
con
N = 100 --> número de espiras
r = 10cm = 0.1 m --> radio de las espiras
B = 0.25 wb/m^2 --> campo magnético
W = 2400 rev/min 2*Pi rad/rev 1min/60sg = 80*Pi rad/sg
Luego
Vo = N*Pi*r^2*B*W
Vo = 100*Pi*.1^2*0.25*80*Pi
Vo = 20*Pi^2 = 197.4 volts --> 197 volts
De todas formas, al trabajar con una señal alterna, es más práctico trabajar con el valor eficaz, ésto es, el valor medio cuadrático
De esta forma, si una señal es
V(t) = Vo*sen(W*t)
Tendremos que
Vo --> Valor de pico ( valor máximo)
Vef = Vo/sqrt(2) --> Valor eficaz
Demostremos que ese es el valor cuadrático medio
... continua
fem = V(t)=N*Pi*r^2*B*W*sen(W*t)
La fuerza electromotiz producida por una superficie cerrada en el seno de un campo magnético es menos la derivada del flujo magnético que atraviesa la superficie con respecto al tiempo (ley de Faraday), o sea
fem = V(t)=-df/dt
Si tenemos N superficies juntas ( N espiras), el flujo total será
V(t) = -N*df/dt
Por otra parte, la definición de flujo magnético es el producto escalar del campo magnético por el vector superficie ES que define a la misma, o sea, teniendo en la definición de producto escalar
f = B*S*cosalfa -->flujo magnético
Siendo
S = Pi*r^2 --> superficie de una espira
alfa = W*t --> ángulo entre B y S
De esta forma
f = B*S*cosalfa
f = B*Pi*r^2*cos(w*t)
Derivando respecto al tiempo
df/dt = -B*Pi*r^2*W*sen(w*t)
Luego la fem será
fem = V(t) = -N*df/dt
V(t) = N*Pi*r^2*B*W*sen(W*t)
Esta fuerza electromotriz es variable con el tiempo, y creará una corriente inducida variable con el tiempo de forma sinusoidal ( corriente alterna).
El valor máximo que puede tomar, o sea cuando el sen(w*t) = 1, será la tensión de pico
Vo = N*Pi*r^2*B*W
con
N = 100 --> número de espiras
r = 10cm = 0.1 m --> radio de las espiras
B = 0.25 wb/m^2 --> campo magnético
W = 2400 rev/min 2*Pi rad/rev 1min/60sg = 80*Pi rad/sg
Luego
Vo = N*Pi*r^2*B*W
Vo = 100*Pi*.1^2*0.25*80*Pi
Vo = 20*Pi^2 = 197.4 volts --> 197 volts
De todas formas, al trabajar con una señal alterna, es más práctico trabajar con el valor eficaz, ésto es, el valor medio cuadrático
De esta forma, si una señal es
V(t) = Vo*sen(W*t)
Tendremos que
Vo --> Valor de pico ( valor máximo)
Vef = Vo/sqrt(2) --> Valor eficaz
Demostremos que ese es el valor cuadrático medio
... continua
Dada una señal
V(t) = Vo*sen(W*t)
Definiremos el valor cuadrático medio como la integral definida entre o y T (período)
Vef = sqrt[(1/T)*Int[V^2*dt]]
o sea
Vef = sqrt[(1/T)*Int[Vo^2*sen^2(W*t)*dt]
Resolvamos la integral
I=Int[sen^2(W*t)*dt]=Int[sen(W*t)*sen(W*t)*dt]
Por partes
u=sen(W*t)-->du=W*cos(W*t)*dt
dv=sen(W*t)*dt-->v=-(1/W)*cos(W*t)
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)-Int[-(1/W)*cos(W*t)*W*cos(W*t)*dt]
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)+Int[cos^(W*t)*dt]
Haciendo
cos^2(W/t)=1-sen^2(W*t), la hacemos cíclica
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)+t-I
luego la integral es
I=(1/2)*[t-(1/W)*sen(W*t)cos(W*t)
sustituyendo los límites entre 0 y T, como
sen0=0
sen(W*T)=sen(2*Pi/T*T)=sen(2*Pi)=0
nos quedará símplemente
I = T/2
Así pues, el valor eficaz será
Vef = sqrt[(1/T)*Int[Vo^2*sen^2(W*t)*dt]
Vef = sqrt[(1/T)*(T/2)*Vo^2]
Vef = sqrt[Vo^2/2]
Vef = Vo/sqrt(2)
En nuestro caso
Vef = 197/sqrt(2) = 139.3 volts ---> 140 volts
V(t) = Vo*sen(W*t)
Definiremos el valor cuadrático medio como la integral definida entre o y T (período)
Vef = sqrt[(1/T)*Int[V^2*dt]]
o sea
Vef = sqrt[(1/T)*Int[Vo^2*sen^2(W*t)*dt]
Resolvamos la integral
I=Int[sen^2(W*t)*dt]=Int[sen(W*t)*sen(W*t)*dt]
Por partes
u=sen(W*t)-->du=W*cos(W*t)*dt
dv=sen(W*t)*dt-->v=-(1/W)*cos(W*t)
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)-Int[-(1/W)*cos(W*t)*W*cos(W*t)*dt]
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)+Int[cos^(W*t)*dt]
Haciendo
cos^2(W/t)=1-sen^2(W*t), la hacemos cíclica
I=-(1/W)*sen(W*t)*cos(W*t)+t-I
luego la integral es
I=(1/2)*[t-(1/W)*sen(W*t)cos(W*t)
sustituyendo los límites entre 0 y T, como
sen0=0
sen(W*T)=sen(2*Pi/T*T)=sen(2*Pi)=0
nos quedará símplemente
I = T/2
Así pues, el valor eficaz será
Vef = sqrt[(1/T)*Int[Vo^2*sen^2(W*t)*dt]
Vef = sqrt[(1/T)*(T/2)*Vo^2]
Vef = sqrt[Vo^2/2]
Vef = Vo/sqrt(2)
En nuestro caso
Vef = 197/sqrt(2) = 139.3 volts ---> 140 volts
