Problemas de arranque

Hola rverdial.
Tengo un Toyota Corolla d4d de 07/2003. Últimamente le cuesta un poco arrancar en frio. Hace el típico ruido de arranque (tucutucutu) y después cuando ya debería ponerse en marcha, parece que cambia el ruido y todavía le cuesta un poco más (tacataca) y por fin arranca. La secuencia seria entonces tucutucutu-tacataca antes de ponerse en marcha, cuando lo habitual es tucutucutu y ponerse en marcha.
Te lo explico de esta manera para hacerte ver que parece que son 2 momentos y sonidos distintos antes de arrancar (al menos esa es la impresión que me da a mi).
Me han dicho que pueden ser los inyectores o el motor de arranque. Los inyectores no creo porque hace un año me los cambiaron en la Toyota por unos nuevos (y modificados) porque daban un problema con un componente del diesel (de hecho los pago la toyota a pesar de no estar ya en garantía).
¿Tu qué opinas? ¿Puede ser el motor de arranque? ¿Es muy cara esta avería? ¿Crees qué puede ser otra?
Muchas gracias de antemano y felices fiestas