Calcular el valor de un límite con exponencial y logaritmos

Indefinición 0/0:  L'Hopital:  (senx + xcosx) / [2x/(1+x^2)];

Nueva indefinición 0/0;  repito L'Hopital:

(cosx + cosx - xsenx) / [2(1+x^2) - (2x*2x)];

(2cosx - xsenx) / [2(1+x^2) - 4x^2];  Tomo límite para x->0:

(2-0) / (2+0-0);  o:  2/2;  simplifico:  1;

Tu límite vale: 1

Puedes corroborarlo en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+(+x+%C2%B7+senx)+%2F+log(+1+%2B+x%5E2)+as+x%3D0 

Supongo que podés usar L'Hopital, si esto es así...

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot senx}{ln(1+x^2)}=L'H\\&\lim_{x \to 0} \frac{senx + x \cdot cosx}{\frac{2x}{1+x^2}}=\lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2)(senx + x \cdot cosx)}{2x}=L'H\\&\lim_{x \to 0} \frac{2x(senx + x \cdot cosx)+ (1+x^2)(cosx + cosx - xsenx)}{2}=\lim_{x \to 0} \frac{2x\cdot senx + 2x^2 \cdot cosx+ (1+x^2)(2cosx  - xsenx)}{2} \to\\&\to \frac{0+0+1 (2-0)}{2}=1\end{align}$$

Salu2