Problema de ecuación deferencia con series potenciales

Reescribo como:  y’’ + x^2y’’ + 2xy’ -2y=0;  por serie de potencias.

## y= ∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

y ‘ = ∑ (de 0 a ∞) na(n)x^(n-1);  pero como se hace 0 con n=0:

## y ‘ = ∑ (de 1 a ∞) na(n)x^(n-1)

y’’ = ∑ (de 1 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2); pero como ahora se hace 0 con n=1:

## y’’ = ∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2);

Sustituyo en la ED:

y = ∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2) + x^2∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2) +

2x∑ (de 1 a ∞) na(n)x^(n-1) - 2∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

Introduzco x y x^2 dentro de las sumatorias:

y = ∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2) + ∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^n +

2∑ (de 1 a ∞) na(n)x^n - 2∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

Hago CDV para que queden todos con x a la misma potencia:

Para la primera sumatoria:

∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^(n-2);  k=n-2;  n=k+2;  k=0:

∑ (k= de 0 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k;

Para las otras tres:  k=n;  k=1;

∑ (de 2 a ∞) n(n-1)a(n)x^n +2∑ (de 1 a ∞) na(n)x^n - 2∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k + 2∑ (de 1 a ∞) ka(k)x^k - 2∑ (de 0 a ∞) a(k)x^k;

∑ (k= de 0 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k + 2∑ (de 1 a ∞) ka(k)x^k - 2∑ (de 0 a ∞) a(k)x^k = 0;

Para la 1° y 4° sumatorias, comienzo con k=0:

2a(2) +∑ (de 1 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k + 2∑ (de 1 a ∞) ka(k)x^k – 2a(0)- 2∑ (de 1 a ∞) a(k)x^k = 0;

Reescribo:

2a(2) -2a(0) +∑ (de 1 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k + 2∑ (de 1 a ∞) ka(k)x^k - 2∑ (de 1 a ∞) a(k)x^k = 0; 

Siendo las sumatorias =0, también:  2a(2) -2a(0) = 0;  ####  a(0) = a(2)

Queda:  ∑ (de 1 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k +

2∑ (de 1 a ∞) ka(k)x^k - 2∑ (de 1 a ∞) a(k)x^k = 0;

Hago k=1: 

6a(3)x+∑ (de 2 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k +

+2a(1)x +2∑ (de 2 a ∞) ka(k)x^k – 2a(1)x- 2∑ (de 2 a ∞) a(k)x^k = 0;

6a(3)x = 0 a(1)x;  como x no puede ser =0;  ####  a(1)=a(3)=0.

Queda:  ∑ (de 2 a ∞) (k+2)(k+1)a(k+2)x^k + ∑ (de 2 a ∞) k(k-1)a(k)x^k +

+2∑ (de 2 a ∞) ka(k)x^k - 2∑ (de 2 a ∞) a(k)x^k = 0;

Ahora son todas sumatorias de 2 a ∞:

∑ (de 2 a ∞)*x^k { (k+2)(k+1)a(k+2) +  k(k-1)a(k) +

+ 2ka(k) - 2a(k)}  = 0;  como x^k no puede ser =0:

&&&&   (k+2)(k+1)a(k+2) +  k(k-1)a(k) + 2ka(k) - 2a(k)=0;

k=2:  12a(4) + 2a(2) + 4a(2)-2a(2) =0;  12a(4)= 4a(2);  pero a(2)=a(0); ####a(4)=(1/3) a(0);

k=3:  20a(5)+10a(3)=0;  pero como a(3)=0;  a(5)=0;

k=4:  30a(6) + 18a(4)=0;  a(6)=(3/5)a(4);  pero a(4)=(1/3)a(0):  a(6)=(1/5)a(0)

Pongamos ahora los primeros coeficientes para:  y= ∑ (de 0 a ∞) a(n)x^n;

Tener en cuenta que tendremos sólo las x de potencia par, todas multiplicadas por Ra(0);  siendo x=Real, ya que los n impares son=0.

Y= a(0) * {1+x^2+(1/3)x^4+(1/5)x^6+......}