Para x > 5 la función está definida para todos los valores (ya que es un polinomio)
Para x <= 5, entonces hay que ver en que momento el interior de la raíz es negativa
x+4 < 0
x < -4
Por lo tanto el dominio de la función es [-4, + infinito)
Para ver el recorrido, vamos a analizar las 2 partes de la función por separado
[-4, 5]: f(x) = sqrt(x + 4)
Es en intervalo dado, es una función estrictamente creciente por lo tanto el valor más bajo estará en el extremo izquierdo y el valor más alto en el extremo derecho.
f(-4) = 0
f(5) = 3
Como es creciente y continua (en ese intervalo), el rango es todo el intervalo [0,3],
Ahora veamos la función para x > 5
(5, +Inf): f(x) = (x-5)^2
Está claro que por ser un cuadrado, serán todos valores positivos, y además se ve que en infinito, la función tiende a infinito, por lo tanto hay que ver cual es el mínimo de la función (y por ser una función continua sabremos que el rango será desde ese mínimo hasta infinito)
Voy a asumir que te explicaron como buscar el mínimo por medio de la derivada, si esto no es así, avisa y vemos de calcularlo de otra forma
f(x) = (x-5)^2
f'(x) = 2(x-5)
f'(x) = 0 = 2(x-5)
x = 5
Por lo tanto el mínimo será cuando x = 5, y la función valdrá f(5) = (5-5)^2 = 0
Por lo tanto sabemos que esta parte de la función tiene un rango en el intervalo [0, infinito) y la otra parte de la función el rango es [0 , 3]
Uniendo ambas expresiones, el rango 'completo' de la función es [0, infinito]
Las evaluaciones 'puntuales' de la función, te las dejo de tarea
Salu2