¿Demostración de la irracionalidad de un número natural?

Demuestre que si un número natural m no es un cuadrado perfecto, entonces √m es irracional.

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1 Respuesta

967.160 pts. No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje, y...

;)
Hola Diego!

Te lo demuestro por una reducción al absurdo:

Supongamos lo contrario y lleguemos a una contradicción.

Supongamos que es radical es un número racional, luego

$$\begin{align}&\sqrt m= \frac a b\end{align}$$

y sea esa fracción en  su forma irreducible.

Elevando al cuadrado:

$$\begin{align}&m= \frac{a^2}{b^2}=\frac a b \frac a b\end{align}$$

pero eso es imposible ya que si a y b son primos entre si también lo son sus cuadrados y

$$\begin{align}&\frac{a^2}{ b^2} \neq m\\&\\&\frac a b \neq \sqrt m\end{align}$$

luego la hipótesis es falsa, y ese radical no es racional, luego es irracional

Saludos

;)

;)

Disculpa, por qué el hecho de que 

$$\begin{align}&a^2/b^2 siendo a y b primos implica que el problema está resuelto? No me ha quedado claro\end{align}$$

Disculpa, por qué el hecho de que 

$$\begin{align}&a^2/b^2\end{align}$$

siendo a y b primos indican que el problema está resuelto? No me ha quedado claro

;) 

Porque si a/b es la fracción irreducible del radical, a^2/b^2 también es una fracción irreducible con lo cual nunca puede dar un entero m. Luego hemos llegado a un absurdo, la razón del cual es la hipótesis de partida.

Saludos y recuerda votar

;)

;)

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