Resolver este problema de optimización

El volumen será la superficie de la base (que es cuadrada) por la altura, o sea

V = b^2 * a

Mientras que la superficie lateral será la superficie de la base (b^2) más las cuatro superficies laterales (b*a), por lo tanto tenemos que

S = b^2 + 4*b*a

192 = b^2 + 4*b*a

Despejando...

(192 - b^2) / 4b = a

reemplazando en la primer ecuación tenemos

V = b^2 * ((192 - b^2) / 4b)

V = b*(192 - b^2)/4

V = 48b - b^3/4

Derivamos buscando máximos / mínimos

V' = 48 - 3/4 b^2

V'' = -3/4 b (será negativo para b positivos, así que el valor que encontremos será máximo)

V' = 0 entonces...0 = 48 - 3/4 b^2

b = sqrt(64) = 8

Calculamos 'a'

(192 - b^2) / 4b = a

(192 - 8^2) / (4*8) = a

a = 4

Por lo tanto el paralelepípedo mide 8x8x4

Salu2

;)
Hola Miriam!
Sea x el lado de la base del cuadrado, y h la altura

$$\begin{align}&V=x^2h=f(x,h)\\&\\&192=x^2+4xh==> \\&\\&h= \frac{192-x^2}{4x}\\&\\&V(x)=x^2·  \frac{192-x^2}{4x}=x· \frac{192-x^2}{4}= \frac 1 4(192x-x^3)\\&\\&V'(x)= \frac 1 4(192-3x^2)\\&\\&V'(x)=0 ==> \frac 1 4(192-3x^2)=0===> 192-3x^2=0\\&\\&x^2=\frac{192} 3=64\\&\\&x= \sqrt {64}=8\ \ \ m\\&\\&h=\frac{192-8^2}{4·8}=4\ \ \ m\\&\\&Comprovación \ Máximo \ relativo:\\&\\&V''(x)= \frac 1 4(-6x)\\&\\&V''(8)= \frac 1 4(-48)<0===>  Max \end{align}$$

Saludos

;)

;)