Como puedo resolver problemas de logaritmos
Me gustaría senalar que me explicaran de tal manera que pueda llegar al resultado sin necesidad de calculadora, ya que para resolver estos ejercicios no me permiten usarla en el aula., muchas gracias.
¿El logaritmo de 300 en base 4 es?
A) 0.2430
B) 0.7555
C) 3.0792
D) 4.1141
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Respuesta
1
Sabemos que
$$\begin{align}&300 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2\\&Además \ que\\&log(a\cdot b) = log(a) + log(b)\\&log(\frac{a}{b}) = log(a) - log(b)\\&log(a^b) = b\cdot log(a)\\&log_a(b) = \frac{1}{log_b(a)}\\&log_{a^b}(x^c) = \frac{c}{b}log_a(x)\\&\text{Juntando todo}\\&log_4(300) = log_4(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2)=log_4(2^3) + log_4(3)+log_4( 5^2)=\\&log_{2^2}(2^3) + log_{2^2}(3)+log_{2^2}( 5^2)=\frac{3}{2}log_{2}(2) + \frac{1}{2}log_{2}(3)+\frac{2}{2}log_{2}( 5)=\\&\frac{3}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}log_{2}(3)+log_{2}( 5)=1.5 + \frac{1}{2}log_{2}(3)+log_{2}( 5)\\&\\&\text{Y creo que hasta acá llegamos con las cuentas, pero sabemos que los 2 log que faltan calcular son }\\&>0 \text{ pues la base es menor que el número al que se aplica, dicho esto se pueden eliminar las opciones A, y B}\\&\text{Además sabemos que } 1< log_2(3) < 2 \to \frac{1}{2}< \frac{1}{2}log_2(3) < 1 \text{ y que } 2 < log_2(5) < 3\\&\text{Por lo tanto podemos decir que}\\&1.5 + \frac{1}{2}log_{2}(3)+log_{2}( 5) > 1.5 + 0.5 + 2 = 4\\&\text{y eso descarta la opción C), por lo tanto el resultado es la opción D)}\end{align}$$Salu2