Sabiendo que el teorema de Frobenius dice: Si x=x_0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial ordinaria a_2 (x) y

El teorema de Frobenius es el que citaste al comienzo del ejercicio, y nos pide que mediante éste método hallamoe suna solución a la ecuación diferencial,

$$\begin{align}&4xy''+2y'+y=0\end{align}$$

entonces lo que hacemos es considerar los puntos singulares de la ecuación diferencial es obvio que será

$$\begin{align}&x=0\end{align}$$

entonces, podemos armar nuestra "supuesta" solución, es decir,

$$\begin{align}&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{C_{n}(x^ {n+r})}\\&\\&Derivando\\&\\&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n+r-1})}\\&\\&Pero\hspace{1mm}tambi\acute{e}n\hspace{1mm}necesitamos\hspace{1mm}la\hspace{1mm}segunda\hspace{2mm}derivada\\&\\&y=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(x+r-1)C_{n}(x^ {n+r-2})}\\&\end{align}$$

Bien, con ésto vamos a reemplazar en la ecuación diferencial y lo demás solo será de nuestra creatividad para manipular los números y las sumatorias aplicando las propiedades.

entonces reemplazando en la ecuación nos queda,

$$\begin{align}&4xy''+2y'+y=(4x)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)C_{n}(x^ {n-2})x^{r}}\right]+(2)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n-1}x^{r})}\right]+\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n}x^{r})}\right]=0\\&\\&Sacamos\hspace{1mm}factor\hspace{1mm}com\acute{u}n\\&\\&x^{r}\left((4x)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)(n+r-1)C_{n}(x^ {n-2})}\right]+(2)\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n-1})}\right]+\left[\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+r)C_{n}(x^ {n})}\right]\right)=0\\&\end{align}$$

Ahora el propósito es tratar de simplficar las sumatorias en una sola, para eso debemos hacer que los límites de la sumatoria sean iguales ¿Tienes alguna idea de como hacer eso?, para eso debemos extraer elementos de la sumatoria con el propósito de que el término

$$\begin{align}&x^{n+r},x^{n+r-1},x^{n+r-2}\hspace{5mm}cuando:n=0\end{align}$$

siempre sean iguales, si me entiendes, por ejemplo para el primer término tenemos

$$\begin{align}&x^{n+r},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r}\\&x^{n+r-1},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r-1}\\&x^{n+r-2},\hspace{3mm}cuando:n=0,\hspace{5mm}x^{r-2}\\&\end{align}$$

Debemos hace que todo éstos términos sean iguales, primero podemos usar un poco el álgebra de los exponentes, si recuerdas,

$$\begin{align}&a^{x}a^{y}=a^{x+y}\end{align}$$

entonces podemos reescribir la ecuación que dejamos reemplazada así,

Solamente hemos sacado ese número que no está fasdiando ahí metido, ahora si, tenemos los términos,

$$\begin{align}&x^{n},x^{n-1},x^{n-2}\\&\\&Si\hspace{1mm}reemplazas\hspace{1mm}n=0\hspace{1mm}nos\hspace{1mm}queda:\\&\\&x^{0},x^{0-1},x^{0-2}=1,x^{-1},x^{-2}\end{align}$$

pero ésto no nos sirve para poder comprimir todas las usmatoria en una sola, necesitamos que únicamente los términos que he mencionado sean iguales cuando n=0, entonces lo que hacemos es QUITAR elementos de las sumatorias así reducimos el límite inferior de cada sumatoria. Lo más fácil que se ve es quitar elementos de cada sumatoria hasta que en todas las sumatoria consigas que al momento de reemplazar el valor de "n" el término

$$\begin{align}&x^{n},x^{n-1},x^{n-2}\end{align}$$

tengan la mismo potencia. a la primer sumatoria podemos quitar únicamente el primer término de la sumatoria es decir cuando n=1.