Hexagono inscrito y circunscrito en dos circulos
Tengo el siguiente ejercicio, a ver si me pueden ayudar. En un hexagono se han inscrito y circunscrito 2 circulos de radio r y R respectivamente, determine el area del hexagono si el area del anillo circular es igual a 4 pi.
Lo trate de hacer y me dio de area 24.25
Por si me pueden decir si lo hice bien o no.
3 respuestas
;)
Hola Gerson!
Creo que tienes algún error. A mí meda diferente:
Area corona circular :
$$\begin{align}&4 \pi=\pi(R^2-r^2)\\&4=R^2-r^2 \ \ \ (*)\\&\\&\\&Pitáboras:\\&R^2=r^2+ \Big( \frac{R}{2} \Big)^2 \Rightarrow R^2=r^2+ \frac{R^2}{4} \Rightarrow\\&\\&r^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4} \Rightarrow \\&r=\frac{R}{2} \sqrt 3\\&\\&sustituyendo \ en \ (*)\\&4=R^2-\frac{3R^2}{4}\\&\\&4=\frac{R^2}{4}\\&\\&R^2=16\\&R=4\\&\\&r=\frac{R}{2} \sqrt 3=2 \sqrt 3\\&\\&Area_{hexágono}=\frac{P·ap}{2}=\frac{6R·r}{2}=3Rr=3(4) (2 \sqrt 3)=24 \sqrt 3 \ \ u^2 \simeq41.5692\\&\\&P:perímetro\\&ap=apotema\end{align}$$saludos
;)
;)
Empecemos con una imagen para darnos una idea de lo que piden
Area de la corona = PI (R^2 - r^2) = 4 PI
Por lo tanto tenemos que
R^2 - r^2 = 4 (1)
Vemos que el hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros que tienen altura r y base R.
Además sabemos que el ángulo GCH =60° y que
Sen 60° = sqrt(3)/2 = Opuesto / Hipotenusa = r / R
r = R sqrt(3) / 2
Reemplazando en (1)
R^2 - (R sqrt(3)/2)^2 = 4
R^2 - R^2 3/4 = 4
1/4R^2 = 4
R = 4
Además sabemos que
Area Hexagono = 6 r R / 2 = 3 r R = 3 R sqrt(3)/2 R = 3/2 R^2 sqrt(3) = 3/2 * 16 * sqrt(3) =
= 24*sqrt(3) aprox 34.61
No coincide con tu respuesta pero como no pusiste lo que hiciste no se si está bien lo tuyo y me equivoqué en alguna cuenta o no.
Salu2
¡MUchas Gracias! Creo que el error que tuve fue al calcular el área del anillo, como no sabia como hacerlo, puse valores que me dieran el resultado de 4pi.
Entonces hice A=pi( R^2 - r^2)
Pi(3,056^2 - 2,31^2)=4pi
Luego hice Area hexagono = (N.L^2)/4Tan(60/2)=
6.(3,056)^2/4Tan.30= 24,25
Gracias
Ojo que hice mal la multiplicación, 24 * sqrt(3) = 41.569....
Salu2
El hexágono ya sabes que se compone de seis triángulos equiláteros por lo que el radio de la circunferencia circunscrita (la que lo tiene dentro) es el lado del hexágono, a este lo llamaremos R ya que es el radio mayor.
Y la circunferencia inscrita es la que se obtiene tomando como radio el apotema. El apotema será la altura de uno de esos triángulos equiláteros. Para calcularla vemos que al trazarla el triángulo equilátero se divide en dos triángulos rectángulos iguales, la hipotenusa mide R y un cateto R/2.
Aplicando el teorema de Pitágoras tendremos:
$$\begin{align}&a=\sqrt{R^2-\left(\frac R2 \right)^2}=\sqrt{R^2-\frac {R^2}4}=\\&\\&\sqrt{\frac {4R^2-R^2}4}=\frac{R \sqrt 3}{2}\\&\\&\text{Tambíen lo podrías haber calculado por el coseno de 30º}\\&\\&\text{Entonces el área de la corona circular será}\\&\\&A= \pi\left(R^2- \left(\frac{R \sqrt 3}{2}\right)^2 \right)=\pi\left(R^2-\frac{3R^2}{4} \right)=\\&\\&\pi\left(\frac{4R^2-3R^2}{4} \right)= \frac 14\pi R^2\\&\\&\text{Esa área nos dicen que es }4\pi\\&\\&\frac 14\pi R^2=4\pi\\&\\&R^2 = 16\\&\\&R = 4\\&\\&a= \frac{R \sqrt 3}{2}=\frac{4 \sqrt 3}{2}= 2 \sqrt 3\\&\\&\text{Y la fórmula del área de un polígono regular es}\\&\\&A= \frac{P·a}{2}= \frac{6·4·2 \sqrt 3}{2}=24 \sqrt 3\end{align}$$Que no coincide con la respuesta que dices.
Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Excelente muchas Gracias!
Puntúala con Excelente por favor, puedes hacerlo abajo. Otras veces a lo mejor no te contestan ellos y tendré que hacerlo yo y no lo haré si no puntúas excelente ahora.