Como resolver este problema matemático de geometría
En un hexágono se han inscrito y circunscrito dos círculos de radios r y R respectivamente.
Determine el área del hexágono si el área del anillo circular obtenido es igual a 4π.
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¡Hola Álvaro!
El hexágono ya sabes que se compone de seis triángulos equiláteros por lo que el radio de la circunferencia circunscrita (la que lo tiene dentro) es el lado del hexágono, a este lo llamaremos R ya que es el radio mayor.
Y la circunferencia inscrita es la que se obtiene tomando como radio el apotema. El apotema será la altura de uno de esos triángulos equiláteros. Para calcularla vemos que al trazarla el triángulo equilátero se divide en dos triángulos rectángulos iguales, la hipotenusa mide R y un cateto R/2.
Aplicando el teorema de Pitágoras tendremos:
$$\begin{align}&a=\sqrt{R^2-\left(\frac R2 \right)^2}=\sqrt{R^2-\frac {R^2}4}=\\&\\&\sqrt{\frac {4R^2-R^2}4}=\frac{R \sqrt 3}{2}\\&\\&\text{Tambíen lo podrías haber calculado por el coseno de 30º}\\&\\&\text{Entonces el área de la corona circular será}\\&\\&A= \pi\left(R^2- \left(\frac{R \sqrt 3}{2}\right)^2 \right)=\pi\left(R^2-\frac{3R^2}{4} \right)=\\&\\&\pi\left(\frac{4R^2-3R^2}{4} \right)= \frac 14\pi R^2\\&\\&\text{Esa área nos dicen que es }4\pi\\&\\&\frac 14\pi R^2=4\pi\\&\\&R^2 = 16\\&\\&R = 4\\&\\&a= \frac{R \sqrt 3}{2}=\frac{4 \sqrt 3}{2}= 2 \sqrt 3\\&\\&\text{Y la fórmula del área de un polígono regular es}\\&\\&A= \frac{P·a}{2}= \frac{6·4·2 \sqrt 3}{2}=24 \sqrt 3\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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