Un ejercicio con el centralizador de grupos.
Sean A y B subconjuntos del grupo G, con
$$\begin{align}&A \subseteq B\end{align}$$Muestre que
$$\begin{align}&Z(A) \subseteq Z(B)\end{align}$$Siendo Zel centralizador.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Luis de Oro!
$$\begin{align}&Z(A)=\{x\in G|xa=ax\;\forall a \in A\}\\&\\&Z(B)=\{x\in G|xb=bx \:\forall b \in B\}\\&\\&\\&\text{Sea }c\in Z(B)\\&\\&\text{como }A\subseteq B\implies ca=ac \;\forall a\in A\implies c\in Z(A) \implies\\&\\&Z(B)\subseteq Z(A) \end{align}$$Pues el enunciado está mal, lo que sucede es todo lo contrario, revísalo.
Saludos.
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¡Gracias!
Una pequeña inquietud,
¿Qué implica que c pertenezca a Z(B)?
La solución está perfecta, solo es una inquietud.
Pues simplemente lo que dice la definición, que para todo elemento b de B se cumplirá bc=cb
Luego se podrán demostrar algunas cosas, principalmente que es un grupo, no he encontrado nada más que sea muy relevante.
