Como determino si el conjunto dado es una base para el espacio vectorial a que se refiere.

Bueno Andrés haré el pimero, ejercicios no tiviales solo se hace uno por pregunta. Si quieres los otros los mandas en sendas preguntas nuevas. Una vez visto que el primero era fácil haré también el segundo.

Las matrices se escriben por filas y columnas pero para calcular el rango será mejor que las pongamos cada una en una fila y así podemos poner varias y hacer las operaciones típicas de filas que usamos para calcular el rango o el determinante. Veamos lo que queda:

 3  1  0   0

 3  2  0   0

-5  1  0  6

 0  1  0  7

Pues no es necesario hacer ninguna cuenta vemos que la tercera componente es 0 para todos, con lo cual cualquier combinación lineal de estas cuatro matrices produce un 0 en la tercera componente y no genera el espacio completo de M2x2

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3x-2y+z = 0

Ya te dicen que eso es un plano de R3, y es verdad, y sabes que un plano tiene dimensión 2, luego ya sabes que la base tendrá dos elementos.

Buscaríamos dos puntos de ese plano, muy mala suerte habría que tener para estuvieran alineados, y si lo estuvieran tomaríamos otros.

Pero si lo hacemos como te voy a decir ahora es seguro no son independientes, tomaremos estos dos puntos

(1, 0, z1)

(0, 1, z2)

donde z1 y z2 debemos calcularlos para que satisfagan la ecuación del plano

3·1 - 2·0 + z1= 0

3+z1=0

z1=-3

·

3·0 -2·1 + z2 = 0

-2+z2=0

z2=2

Luego los vectores de la base son:

(1, 0, -3)  y (0, 1, 2)

Y eso es todo, saludos.

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