Dada una función sobreyectiva f:[0,1]-->[0,1] tal que f(x) es continua en [0,1], demostrar que existe x0E [0,1] tal que f(x0)=x0
Dada una función sobreyectiva f:[0,1]-->[0,1] tal que f(x) es continua en [0,1], demostrar que existe x0E [0,1] tal que f(x0)=x0.
1 Respuesta
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¡Hola Kassandra!
Tomemos la función
g(x) = f(x) - x
es una función continua en [0,1] porque f(x) y (-x) son funciones continuas y lo es su suma.
Como f es sobreyectiva existe un punto c € [0,1] tal que f(c)=0, con lo cual
g(c) = 0 - c <= 0
y existe otro punto d € [0,1] tal que f(d) = 1, con lo cual
g(d) = 1 - d >=0
Si g(c)=0 o g(d)=0 ya está porque
g(c) = f(c) - c = 0 ==> f(c) = c
g(d) = f(d) - d = 0 ==> f(d) = d
Si ambos son distintos de 0 entonces se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano en [c, d] o en [d, c]
g es continua en ese intervalo y los signos de g(c) y g(d) son opuestos, luego existira un punto a € [c,d] tal que
g(a) = 0 ==> f(a) - a = 0 ==> f(a) = a
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