Sucesiones - Calcular k para que el siguiente limite:

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Hola Marr!

Es una indeterminación del número e:

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}\Bigg (\frac{n!+3}{n!} \Bigg)^{\frac{(n+1)!}{kn}}=1^{\infty}=e^{\lambda}\\&\\&f^g\\&\\&\lambda=\lim_{n \to \infty} \Big (f-1 \Big)g=\lim_{n \to \infty}\Bigg (\frac{n!+3}{n!} -1 \Bigg)\frac{(n+1)!}{kn}=\\&\\&\lim_{n \to \infty}\Bigg (\frac{n!+3-n!}{n!}\Bigg)\frac{(n+1)!}{kn}=\\&\\&\lim_{n \to \infty}\frac{3(n+1)!}{n!kn}=\lim_{n \to \infty}\frac{3(n+1)}{kn}=\frac{3}{k}\\&\\&e^{\lambda}=e^{\frac{3}{k}}\\&\\&e^{\frac{3}{k}}=5\\&\\&\frac{3}{k}=ln5\\&\\&k=\frac{3}{ln5}\end{align}$$

espero que conozcas la fórmula de :

$$\begin{align}&\lambda=lim(f-1)g\\&\\&\end{align}$$

para resolver la indeterminación  

$$\begin{align}&1^{\infty}=e^{\lambda}\end{align}$$

ya que facilita bastante los calculos

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¡Hola Maar!

Yo no recuerdo si estudié esa fórmula de Lucas, es posible pero no me acuerdo. Lo que no se me olvidó nunca fue el trabajo a golpe de calcetín para resolver estos límites, la transformación de lo que nos dan en el número e.

$$\begin{align}&\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n!+3}{n!}\right)^{\frac{(n+1)!}{kn}}=\\&\\&\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{3}{n!}\right)^{\frac{(n+1)!}{kn}}=\\&\\&\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{\frac{n!}3}\right)^{\frac{(n+1)!}{kn}}=\\&\\&\lim_{n \to +\infty} \left( 1+\frac{1}{\frac{n!}3}\right)^{\frac{n!}{3}·\frac{(n+1)!}{kn}·\frac{3}{n!}}=\\&\\&\lim_{n \to +\infty} \left[\left( 1+\frac{1}{\frac{n!}3}\right)^{\frac{n!}{3}}\right]^{\frac{(n+1)!}{kn}·\frac{3}{n!}}=\\&\\&\lim_{n \to +\infty} \left[\left( 1+\frac{1}{\frac{n!}3}\right)^{\frac{n!}{3}}\right]^{\lim_{n\to \infty}{\frac{(n+1)!}{kn}·\frac{3}{n!}}}=\\&\\&\text{Y el límite de la base es el número e}\\&\\&= e^{\lim_{n\to \infty}{\frac{(n+1)!}{kn}·\frac{3}{n!}}}= e^{\lim_{n\to \infty}{\frac{n+1}{kn}·3}}=e^{\frac{3}{k}}=5\\&\\&\text{extrayendo logaritmos neperianos}\\&\\&\frac 3k = ln\,5\\&\\&k=\frac{3}{ln \,5}\\&\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, saludos.

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