Resolver la siguiente ecuación diferencial no lineal

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¡Hola Edwin!

Vamos a probar a resolverla por la teoría del factor integrante.

$$\begin{align}&M_y = \frac{e^y}{x}\\&N_x = -1\\&\\&Tenemos \\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=1\\&\\&\text{Que es función solo de y (en realidad de nada)}\\&\\&\text{La teoria dice que siendo así el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}= e^{\int-dy}=e^{-y}\\&\\&\text{Y la ecuación queda}\\&\\&\left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx -(xe^{-y} + 3)dy=0\\&\\&M_y=e^{-y}\\&N_x=e^{-y}\\&\\&\text{es diferencial exacta}\\&\\&\text{Integramos M respecto x}\\&\\&u(x,y)=\int \left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx= xe^{-y}+ln\,x+\varphi(y)\\&\\&\text{ahora la derivamos esto respecto de y y lo igualamos a N}\\&\\&-xe^{-y}+\varphi'(y)= -xe^{-y}+3\\&\\&\varphi'(y)=3\\&\\&\varphi(y)=3y\\&\\&\text{Y volviendo arriba}\\&\\&u(x,y)=xe^{-y}+ln\,x+3y\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&xe^{-y}+ln\,x+3y=C\end{align}$$

Y eso es todo, espero haberla hecho bien, repásala de todas formas.

Saludos.

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Tuve un fallo con un signo, ahora está bien.

$$\begin{align}&M_y = \frac{e^y}{x}\\&N_x = -1\\&\\&Tenemos \\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=1\\&\\&\text{Que es función solo de y (en realidad de nada)}\\&\\&\text{La teoria dice que siendo así el factor integrante es}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}= e^{\int-dy}=e^{-y}\\&\\&\text{Y la ecuación queda}\\&\\&\left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx -(xe^{-y} + 3)dy=0\\&\\&M_y=e^{-y}\\&N_x=e^{-y}\\&\\&\text{es diferencial exacta}\\&\\&\text{Integramos M respecto x}\\&\\&u(x,y)=\int \left(e^{-y}+\frac 1x\right)dx= xe^{-y}+ln\,x+\varphi(y)\\&\\&\text{ahora la derivamos esto respecto de y y lo igualamos a N}\\&\\&-xe^{-y}+\varphi'(y)= -xe^{-y}-3\\&\\&\varphi'(y)=-3\\&\\&\varphi(y)=-3y\\&\\&\text{Y volviendo arriba}\\&\\&u(x,y)=xe^{-y}+ln\,x-3y\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&xe^{-y}+ln\,x-3y=C\end{align}$$