Problema sobre gravitación de física de campor
Tengo esta ecuación:
$$\begin{align}&V^2=2GM [\frac{1}{R} - \frac{1}{r}] \end{align}$$en donde G = constante de gravitación
M= masa de la tierra
R= radio de la tierra
r= Es la distancia de un cuerpo en el espacio hasta el centro de la tierra
Suponiendo que h es la distancia de un cuerpo sobre la superficie de la tierra. Tenemos que r= h + R.
Verificar utilizando la expansión binomial que cuando h es muy pequeña comparado con R, la ecuación anterior se reduce a:
$$\begin{align}&v^2=2gh\end{align}$$en donde
$$\begin{align}&g=GM/R2\end{align}$$mi pregunta es como se hace eso. Cómo puedo utilizar la expansión binomial para verificar esa reducción.
1 Respuesta
Pensalo asi.
La variacion de energia potencial de una masa m situada en un punto A que esta h metros sobre la superficie de la tierra que referis como punto B: ... Y consideras 0 la E.P. a nivel del mar...-... podes escribir : ( R= RADIO TERRESTRE):
V(A) = - G M m ( 1/R + h - 1/ R) respecto del nivel del mar. = GMm(1/R - 1/ R+h)...
Si operas esto llegarias a V(A) = G M m ( h/ R^2 + Rh) pero esto es energia potencial NO velocidad... y lo que se hizo es operar dentro del párentesis... nada que ver con expansion binomial...
Si sabes que g= aceleracion gravitatoria a nivel del mar = G M / R^2 y consideras que h es mucho mucho menor que R ... llegas a :
V (A) = g m h = Energia potencial de m ..........................Como E cinetica = 1/2 m v^2 ...operas y ahora si llegarias a que v^2 = velocidad = 2gh
Resumiendo: Tenes confundidas las V... V es energia potencial gravitatoria y la estas evaluando a una distancia h sobre nivel del mar. En cambio v es velocidad... la velocidad con que la masa m arriba al nivel del mar desde una altura h.
lo que me piden es que con el teorema de la expansión binomial demostrar que cuando h es muy pequeña comparado son R, esa ecuación de velocidad (que yo la escribí con mayúscula, ahí disculpa) se reduce a v^2= 2gh sabiendo que g=GM/R^2
lo que quiero saber como se utiliza la expansión binomial para demostrar esa reducción
gracias
ahora esta más claro...
v^2 = 2GM ( 1/R - 1/ h+R) = 2GM /R - 2GM/ h+R = 2GMh + 2GMR - 2GMR / R^2 + hR
Pero si h es <<< R podes dejer el denominador como R^2 porque hR es mucho mas chico que R...
Luego escribis v^2 = 2 (GM/R^2) h = 2gh ... ya que GM/R^2 es igual a g a nivel del mar.
Pero en todo el desarrollo de " expansión binomial" aqui no hay nada. Solamente se opero dentro del paréntesis.
