Dar respuesta a la siguiente integral con radical denominador
Buenas tardes continuo con mi taller gracias por sus acertadas respuestas
2 Respuestas
;)
Hola oscar!
Para resolver esta integral hay que hacer dos cambios de variable para transformarla en una tipo arcsen u(x)
$$\begin{align}&\int \frac{x}{\sqrt{3-(x^2)^2}}dx=\\&\\&t=x^2 \Rightarrow dt=2xdx\\&\\&\int \frac{dt}{2 \sqrt {3-t^2}}= \\&\\&t= \sqrt 3 sen z\\&dt=\sqrt 3 cosz dz\\&\\&=\frac{1}{2} \int \frac{ \sqrt 3 cosz dz }{\sqrt {3-3 sen^2z}}=\\&\\&=\frac{1}{2} \frac{\sqrt 3}{ \sqrt 3} \int \frac{cosz}{\sqrt {1-sen^2 z}}dz=\\&\\&=\frac {1}{2} \int \frac{\cos z}{ \sqrt {\cos^2 z}} dz=\\&\\&=\frac{1}{2} \int 1 dz=\\&\\&=\frac{1}{2}z= \frac{1}{2}arcsen(\frac{t}{\sqrt 3})=\\&\\&= \frac{1}{2} arc sen (\frac{x^2}{\sqrt 3})+C\end{align}$$Saludos
;)
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¡Hola Oscar!
Tienes que fijarte que eso se parece a la derivada de un arcoseno . pero no el arcoseno de por sino el de x^2 y que en el numerador tienes la derivada de x^2, todo ello a falta de ajustar algunas constantes que multipliquen.
Primero vamos a hacer que la raíz cuadrada sea de 1 - algo^2
$$\begin{align}&\int \frac{x}{\sqrt {3-x^4}}dx=\int \frac{x}{ \sqrt{3\left(1-\frac{x^4}{3}\right)}}dx=\\&\\&\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{x}{\sqrt{1-\frac{x^4}{3}}}dx=\frac{1}{\sqrt 3}\int \frac{x}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{\sqrt 3} \right)^2}}dx=\\&\\&\text{Y ahora hacemos que arriba este la derivada de ese algo}\\&\\&\frac 1{\sqrt 3}·\frac {\sqrt{3}}2 \int \frac{\frac{2x}{\sqrt 3}}{\sqrt{1-\left(\frac{x^2}{\sqrt 3} \right)^2}}dx=\\&\\&\frac 12arcsen \left(\frac{x^2}{\sqrt 3}\right)+C\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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Buenas tardes maestro valero podría argumentar un poco el ejercicio es no lo tengo muy claro me confunde un poco la explicación que da en la parte superior
Es una de las formas que hay de hacerlo. Probablemente si no te lo han enseñado así va a ser imposible que yo te lo pueda hacer comprender. Usa el método de Lucas si lo has entendido mejor
$$\begin{align}&\text{La derivada del arcoseno es}\\&\\&arcsen'(x) = \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}\\&\\&\text{si fuera el arcoseno de una función u(x) sería}\\&\\&arcsen'(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\\&\\&\text{entonces mediante operaciones que no alteren}\\&\text{el valor vamos a intentar dejar la integral que nos}\\&\text{dan en una de esa forma}\\&\\&\text{La que tenemos es}\\&\\&\int \frac {x}{\sqrt{3-x^4}}dx\\&\\&\text{Y tienes que ver que usando una determinada función}\\&\\&u(x) = kx^2\\&\\&\text{y una cierta constante c, vas a conseguir}\\&\\&(c·arcsen(kx^2))' =\frac {x}{\sqrt{3-x^4}}\\&\\&\text{pero eso cuesta y si no lo has visto hacer}\\&\text{te puede costar entenderlo}\end{align}$$Pero la esencia es transformar la integral en una que tenga por denominador la raiz cuadrada de [ 1 - (algo)^2] y por numerador la derivada de ese algo. Todo ello mediante operaciones que no alteren el valor de la integral.