Resolver problema de terreno rectangular y graficar el mismo.
Necesito me orienten sobre el siguiente problema de un rectángulo, el mismo dice : Para cercar un terreno rectangular se precisan 2000 mts de alambrada. Uno de los lados del terreno es "x", el área del mismo es "y".
a) Hallar la relación "x" e "y" y graficar para los valores admisibles.
b) ¿Para qué valor de "x" el área del terreno es máxima?.
Yo creo que al darme el dato de 2000 m de alambrada, me esta dando el perímetro del rectángulo.
P = 2x + 2a = 2000 m
Area es y = x * a
Necesito me aclaren como continuar, acompaño una imagen que hice yo del rectángulo. Espero respuesta y gracias.
2 Respuestas
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¡Hola Hfarias!
Claro, los 2000 m son el perímetro
X es un lado, vamos a calcular lo que mide el otro, lo llamaré z
2x + 2z = 2000
x+z = 1000
z= 1000-x
Con esto el área en función de x es
y = xz = x(1000-x) = 1000x - x^2
La gráfica es esta:
b)
Se puede resolver de dos formas, o por teoría de parábolas o por teoría de máximos, yo creo que será la segunda.
El vértice de una parábola
y= ax^2+ bx + c
esta en el punto
x= -b/2a
nosotros tenemos
y=-x^2 + 1000 x
vértice: x=-1000/-2 = 500
Por teoría de máximos:
Derivamos e igualamos a 0 la función
y' = -2x + 1000 = 0
-2x = -1000
x=500
Y la segunda derivada es
y''=-2
que como es negativa hace que 500 sea un máximo
Y el valor máximo es:
y = -500^2 + 1000·500 = -250000+500000 = 250000
Es un hecho conocido que de todos los rectángulos con igual perímetro el que tiene más área es el cuadrado, ahora acabas de comprobarlo ya que los lados son
x=500
z= 1000-500 = 500
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;)
Hola hfarias!
Para resolver este problema has de conocer la fórmula que calcula la x del vértice de una función parabólica o quadrática.
$$\begin{align}&y=ax^2+bx+c\\&\\&x_v=\frac{-b}{2a}\\&\\&\\&A=y=x·h\\&\\&perímetro:\\&2x+2h=2000 \Rightarrow x+h=1000 \Rightarrow h=1000-x\\&\\&A=y=x(1000-x)\\&y=-x^2+1000x\\&parábola \ hacia \ bajo\\&El \ Vértice \ representa \ el \ área \ máxima:\\&\\&x_v=\frac{-1000}{2(-1)}=500 \Rightarrow h=1000-500=500\\&\\&A_{máxima}=500·500=250000 \ \ m^2\end{align}$$Adjunto la gráfica de la función y=f(x)
y=m^2
El área máxima se consigue con un cuadrado, que en este problema se considera como un caso particular de rectángulo.
Saludos
;)
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