Como puedo realizar esta demostración de transformada de laplace

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¡Hola Xavier!

La transformada bien escrita es

s/(s^2+a^2)

Es el denominador el que debe ir entre paréntesisi obligatoriamente.

Imagino que te están pidiendo la demostración por definición. Entonces será esto:

$$\begin{align}&\mathcal L\{f(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\;dt\\&\\&L\{\cos at\}=\int_0^{\infty}e^{-st}\cos at\;dt=\\&\\&u=\cos at\qquad du=-a·sen \,at\;dt\\&dv=e^{-st}dt\quad \;v=-\frac 1se^{-st}\\&\\&=-\frac 1se^{-st}\cos at\bigg|_0^{\infty}-\frac as\int_0^{\infty}e^{-st}sen\,at\;dt=\\&\\&-0+\frac 1s-\frac as\int_0^{\infty}e^{-st}sen\,at\;dt=\\&\\&u=sen\, at\qquad du=a·\cos \,at\;dt\\&dv=e^{-st}dt\quad \;v=-\frac 1se^{-st}\\&\\&=\frac 1s+\frac a{s^2}e^{-st}sen\,at\bigg|_0^{\infty}-\frac {a^2}{s^2}\int e^{-st}\cos at dt=\\&\\&\text{Fíjate que esta última integral es la transformada}\\&\\&=\frac 1s+0-\frac{a^2}{s^2}\mathcal L\{f(t)\}\\&\\&\text{Para verlo mejor pongo lo que nos interesa}\\&\\&\mathcal L\{f(t)\}=\frac 1s-\frac{a^2}{s^2}\mathcal L\{f(t)\}\\&\\&\left(1+\frac{a^2}{s^2}\right)\mathcal L\{f(t)\}=\frac 1s\\&\\&\frac{s^2+a^2}{s^2}\mathcal L\{f(t)\}=\frac 1s\\&\\&\mathcal L\{f(t)\}=\frac {s}{s^2+a^2}\\&\\&\end{align}$$

Y sale lo que queríamos demostrar.

Y eso es todo, un saludo.

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