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¡Hola Oscar!
Me temo que este problema lo tienes en la parte que habla de los multiplicadores de Lagrange, luego voy a resolverlo con ellos.
Sean x, y, z las dimensiones del acuario siendo z la altura
La superficie será:
S(x,y,z) = 2xz+2yz+xy
debemos minimizar esa función sujeta a la ecuación de ligadura
g(x) = xyz - 32 = 0
Usaremos un multiplicador de Lagrange lambda, hay que minimizar
$$\begin{align}&H(x,y,z) = F(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)\\&\\&H(x,y,z)=2xz+2yz+xy+\lambda(xyz-32)\\&\\&\text{calculamos las derivadas parciales e igualamos a 0}\\&\\&H_x=2z+y+\lambda yz=0\\&H_y=2z+x+\lambda xz=0\\&H_z=2x+2y+\lambda xy=0\\&\\&\text{Sale bastante complicado.}\\&\text{A la primera le restamos la segunda}\\&y-x+\lambda yz-\lambda xz = 0\\&(y-x)+\lambda z(y-x)=0\\&(y-x)(1+\lambda z)=0\\&\\&1) \quad Si\; y-x=0\implies x=y\\&\qquad4x +\lambda x^2=0\\&\qquad \text{x no puede ser 0 porque tiene volumen}\\&\qquad4+\lambda x=0 \implies{}\lambda=-\frac 4x\\&\qquad \text{y en la segunda}\\&\qquad 2z+x-\frac 4xxz=0\implies2z+x-4z=0\implies\\&\qquad x-2z=0\implies z=\frac x2\\&\\&\qquad \text{Y en la ecuación }xyz=32\text{ tenemos}\\&\qquad x·x·\frac x2=32\implies x^3=64\implies x=4\\&\qquad\text{Luego las dimensiones son: }\\&\qquad x=y=4, z=2\\&\\&2)\quad Si\;1+\lambda z=0\implies \lambda=-\frac 1z\\&\qquad\text{en la primera tendremos}\\&\qquad 2z+y-\frac 1zyz=0\\&\qquad{2z+y-y=0}\\&\qquad 2z=0\\&\qquad z=0\\&\qquad\text{absurdo porque la caja tiene volumen}\end{align}$$Luego el único punto crítico es:
(4, 4, 2)
Luego por ser único basta probar este punto y cualquier otro para ver si es máximo o mínimo
S(x,y,z) = 2xz+2yz+xy
S(4,4,2) = 2·4·2 + 2·4·2 + 4·4 = 48
Y otros valores de x,y,z que den ese volumen son (1, 1, 32)
S(1,1,32) = 2·1·32 + 2·1·32 + 1·1= 129
Luego es un mínimo relativo y absoluto.
Así que la base es un cuadrado 4x4 y la altura 2.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuarnos a todos.
Saludos.
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Veamos que sale
Volumen (dice que es rectangular)
V = l a h ................(Largo x Ancho x Alto)
Area (superficie a minimizar):
A = 2 a h + 2 l h + l a.......(L x A lo cuento una vez sola pues dice que está abierto en la parte superior
Volviendo a los datos que tenemos
$$\begin{align}&32 = lah \to h = \frac{32}{la}\\&A = 2ah+2lh+la\\&A = \frac{2a\cdot 32}{la}+\frac{2l \cdot 32}{la}+la\\&A= \frac{64 }{l}+\frac{64}{a}+la\\&\frac{dA}{dl}=-\frac{64}{l^2}+a\\&\frac{dA}{da}=-\frac{64}{a^2}+l\\&\frac{dA}{dl}=0\to \frac{64}{l^2}=a\\&\frac{dA}{da}=0 \to \frac{64}{a^2}=l\\&(2)\ en\ (1)\\&\frac{64}{(\frac{64}{a^2})^2}=a\\&\frac{a^4}{64}=a \to a^4=64a\to a^4-64a=0\\&a(a^3-64)=0\\&a=0 \lor a^3-64=0\to a=\sqrt[3]{64} \to a = 4\\&l=\frac{64}{4^2}=4\\&h=\frac{32}{la}=\frac{32}{4\cdot 4}=2\end{align}$$Te queda verificar que es un mínimo (que lo será, pero debes verificarlo).
Sean los lados de las bases del paralelepípedo x e y
Y sea la altura h
La función a optimizar es el área de las 4 caras laterales más el área de una base:
A=2xh+2yh+xy
Como el volumen es de 32 pies cúbicos:
32=xyh
Despejando h y sustituyéndola arriba:
$$\begin{align}&h=\frac{32}{xy}\\&\\&A(x,y)=2x·\frac{32}{xy}+2y·\frac{32}{xy}+xy=\\&\\&A(x,y)=\frac{64}{y}+\frac{64}{x}+xy\\&\\&A'_x=\frac{-64}{x^2}+y\\&\\&A'_y=\frac{-64}{y^2}+x\\&Extremos \ relativos : \Longrightarrow\\&A'_x=0 \Rightarrow y=\frac{64}{x^2}\\&\\&A'_y=0 \Rightarrow x=\frac{64}{y^2}\\&Sustituyendo \ la \ segunda \ en \ la \ primera:\\& y=\frac{64}{(\frac{64}{y^2})^2}=\frac{y^4}{64} \Rightarrow 64y-y^4=0\\&\\&y(64-y^3)=0\\&y_1=0 \ \ \ no \ sirve\\&64-y^3=0 \Rightarrow y=\sqrt[3]{64}=4 \Longrightarrow x=\frac{64}{4^2}=4\\&\\&La \ base \ es \ cuadrada\\&\\&h=\frac{32}{4·4}=2\\&\\&\\&\end{align}$$Comprobación del mínimo:
Hay un extremo relativo si elHessiano es positivo y
Es mínimo si fxx>0
$$\begin{align}&A_{xx}=-\frac{-2x·64}{x^4}=\frac{128}{x^3}\\&\\&A_{yy}=\frac{128}{y^3}\\&\\&A_{xy}=A_{yx}=1\end{align}$$Hessiano:
El acuario es de base cuadrada 4x4 y altura 2
Saludos
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