Como calculo el mínimo de la siguiente función por medio de derivadas

Derivando e igualando a cero:

$$\begin{align}&f(x)=\sqrt{9+x^2}+ \sqrt{149-20x+x^2}\\&\\&f(x)'=\frac{1}{2 \sqrt{9+x^2}}·2x+\frac{1}{2 \sqrt{149-20x+x^2}}(-20+2x)=\\&\\&= \frac{x}{ \sqrt{9+x^2}}+\frac{-10+x}{ \sqrt{149-20x+x^2}}=0 \Longrightarrow\\&\\&\frac{x}{ \sqrt{9+x^2}}=\frac{10-x}{ \sqrt{149-20x+x^2}} \Longrightarrow\\&\\&x \sqrt{149-20x+x^2}=(10-x) \sqrt{9+x^2}\\&\\&Elevando \ al \ cuadrado:\\&\\&x^2(149-20x+x^2)=(10-x)^2(9+x^2)\\&\\&149x^2-20x^3+x^4=(100-20x+x^2)(9+x^2)\\&\\&149x^2-20x^3+x^4=900+100x^2-180x-20x^3+9x^2+x^4\\&\\&40x^2+180x-900=0\\&Simplificando:\\&2x^2+9x-45=0\\&Resolviendo\\&x_1=3 \ \ \epsilon[0,10]\\&x_2=-7.5\\&Comprobando \ mínimo \ en \ x=3\\&\\&Criterio \ de \ la \ derivada \ primera:\\&\\&f(2)'=\frac{2}{\sqrt{9+4}}+\frac{-8}{\sqrt{149-40+4}}=\frac{2}{\sqrt {13}}-\frac{8}{\sqrt{113}}=-0.197<0 \Rightarrow decreciente\\&\\&f(4)'=\frac{4}{\sqrt{9+16}}+\frac{-6}{\sqrt{149-80+16}}=\frac{4}{5}-\frac{6}{\sqrt{85}}=0.14>0 \Rightarrow creciente\\&\\&\Longrightarrow \ x=3 \ es \ un \ mínimo\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Saludos

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¡Gracias! 

Esta perfecto y muy sencillo 

Hola.

Disculpa seria factible saber que tipo de curva es la que se genera al graficar esa función y si como lo podría hacer. ya lo hice por medio de tecnología pero me agradaría saber el poseso matemático.