Sucesiones geométricas sobre un problema especifico
Se excavó un pozo para extraer agua subterránea. ¿Qué profundidad tiene el pozo si por el primer metro excavado se pagó $ 15.000.000 y por cada metro adicional se canceló el 20% más que el inmediatamente anterior, sabiendo que en total se pagaron $193.738.560? La razón de ésta progresión geométrica es r=1, 2
2 respuestas
-
-
-
Hola Oscar Pantoja!
_______________________________________________________________________________________
Respuesta:
El pozo tiene una profundidad de 7 metros
Agradezco a Oscar Melo por la solución de este problema.
Un cordial saludo!
-
-
-
--
--
¡Hola Óscar!
Efectivamente, la razón de la progresión geométrica es 1.2 ya que
$$\begin{align}&a_{n+1}=a_n+20\%\; de\; a_n = a_n+ \frac{20}{100}a_n =\\&\\&a_n+0.2a_n = 1.2a_n\\&\\&\text{Es necesario conocer la fórmula de la suma de n termino seguidos}\\&\\&S_n = a_1·\frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&193738560 = 15000000·\frac{1.2^n-1}{1.2-1}\\&\\&193738560 = 15000000·\frac{1.2^n-1}{0.2}\\&\\&38747712= 150000000·(1.2^n-1)\\&\\&1.2^n-1= \frac{38747712}{15000000}= 2.5831808\\&\\&1.2^n = 3.5831808\\&\\&\text{Extraemos logaritmos neperianos}\\&\\&n·ln(1.2) = ln(3.5831808)\\&\\&n = \frac{ ln(3.5831808)}{ln(1.2)}= 7 \,metros\\&\end{align}$$--
--
Hola muy bien esta explicada la respuesta, sólo quisiera saber por que se saca logaritmo natural(neperiano), ¿será sólo para poder despeja a n?, ¿Es la única operación para despejarla? Gracias
La ecuación
$$\begin{align}&1.2^n=3.5831808\\&\\&\text{Solo puede resolverse con logaritmos, lo}\\&\text{mismo da naturales que en base 10 u otra.}\\&\text{Pero los naturales son los principales, verás}\\&\text{que los de base 10 también sirven}\\&\\&log_{10}(1.2^n)=log_{10}(3.5831808)\\&\\&\text{usando una propiedad de los logaritmos}\\&\\&n·log_{10}(1.2)=log_{10}(3.5831808)\\&\\&n= \frac{log_{10}(3.5831808)}{log_{10}(1.2)}=7\, metros\end{align}$$Saludos.
--
--