Determinar si la serie es convergente o divergente ∑_(n∈N) (√(n+1)-√n)/n.

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¡Hola Lizeth!

Primero vemos que es una serie de términos positivos ya que la raíz de n+1 es siempre mayor que la de n. Segundo vemos que el límite del término enesimo es 0 ya que es 0/inf = 0

Pero eso no es suficiente para garantizar la convergencia.

Como siempre que se ve una diferencia de raíces cuadradas la tendencia es a multiplicar por la suma de ellas para obtener unos términos iguales pero con una expresión distinta que pueda ayudarnos.

$$\begin{align}&\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n}= \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n}·\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\&\\&\frac{n+1-n}{n (\sqrt{n+1}+\sqrt n)}= \frac{1}{n (\sqrt{n+1}+\sqrt n)}\\&\\&\\&\text{Y esta serie la podemos comparar con } \frac{1}{n \sqrt n}\\&\\&\text{la cual es convergente.}\\&\\&\text{Y el límite de la comparación es }\frac 12 \\&\text{luego es convergente.}\\&\\&\text{Si quieres hago eso que he dicho}\\&\\&\text{Por el criterio de la integral}\\&\\&\int_1^{\infty }\frac{dx}{x \sqrt x}=\int_1^{\infty}x^{-3/2}dx=\\&\\&\left. \frac{x^{-1/2}}{-\frac 12}\right |_1^{\infty}=-2(0-1)=2\\&\\&\text {luego}\\&\\&\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1{n \sqrt n}  es \; convergente\\&\\&\text{Y la comparación es}\\&\\&L=\lim_{n\to\infty}\frac{ \frac{1}{n (\sqrt{n+1}+\sqrt n)}}{\frac 1{n \sqrt n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\&\\&\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+1}= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\\&\\&\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}= \frac{1}{\sqrt 1+1}=\frac 12\\&\\&Como\\&0\lt L\lt\infty\\&\text{ambas son convergentes o divergentes a la vez}\\&\text{y como ya vimos que una era convergente,}\\&\text{la otra que nos piden también lo es.}\\&\\&\end{align}$$

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