Hallar los máximos y los mínimos relativos si los hay, de las ecuaciones

·

Hay que mandar un solo ejercicio de esta categoría por pregunta, resolveré el primero.

Hallaremos las derivadas parciales e igualandolas a 0 resolveremos el sistema de ecuaciones planteado.

$$\begin{align}&\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-a\,sen(x+y)+b \cos(x+y)=0\\&\\&\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-a\,sen(x+y)+b \cos(x+y)=0\\&\\&\text{ambas ecuaciones son la misma, hay infinitos puntos críticos}\\&\\&b \cos(x+y)=asen(x+y)\\&\\&\frac ba = \frac{sen(x+y)}{\cos(x+y)}\\&\\&tg(x+y)=\frac ba\\&\\&x+y=arctg \left(\frac ba\right)\\&\\&\text{Calculamos las derivadas segundas}\\&\\&\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}=-a \cos(x+y)-bsen(x+y)\\&\\&\text{Y no es difícil ver que las cuatro son iguales}\end{align}$$

Luego el Hessiano será

|-acos(x+y)-bsen(x+y)   -acos(x+y)-bsen(x+y)|
|-acos(x+y)-bsen(x+y)   -acos(x+y)-bsen(x+y)|

que vale 0 por tener dos filas iguales.

En estas circunstancias el Hessiano no nos dice nada acerca del tipo de los puntos críticos.

Pero fijémonos en una cosa.  La única expresión de las variables que aparece es x+y, luego podemos considerar que la función es de una única variable u=x+y, entonces sería

f(u) = a·cosu + b·senu

f'(u) = -a·senu + b·cosu =0

b·cosu = a·senu

tgu = b/a

u=arctg(b/a)   y  arctg(b/a)+pi

la derivada segunda sería

f''(u)= -a·cosu - b·senu

Si a>0 y b>0

en u=arctg(b/a) tenemos f''(u)<0 máximo

en u=arctg(b/a)+pi tenemos f''(u) >0 mínimo

·

Si a>0 y b<0

arctg(b/a) estará en el cuarto cuadrante con coseno positivo y seno negativo, entonces la derivada segunda tendra estos signos

f''(u) = - positivo·positivo - negativo·negativo = negativo - negativo = negativo

Luego en arctg(b/a) hay un máximo

Y arctg(b/a)+pi está en el segundo cuadrante, si haces el mismo estudio de signos de antes verás que es un mínimo.

·

Si a<0 y b>0

arctg(b/a) estará en el cuarto cuadrante. El estudio de signos de la derivada segunda ahora es:

f''(arctg(b/a)) = -negativo·positivo - positivo·negativo = positivo

luego es un mínimo.

Y el máximo está en arctg(b/a) + pi

·

Si a<0 y b<0

entonces arctg(b/a) está en el primer cuadrante

f''(arctg(b/a)) = -negativo·positivo - negativo·positivo = positivo

luego mínimo

y en arctg(b/a)+pi está el máximo

Resumiendo:

Si a > 0

máximo en los puntos (x,y) donde x+y=arctg(b/a)

mínimo en los puntos donde x+y=arctg(b/a)+pi

Si a < 0

mínimo en los puntos (x,y) donde x+y=arctg(b/a)

máximo en los puntos donde x+y=arctg(b/a)+pi

Pero hay que tener mucho cuidado para entender esto por el caracter cíclico de la función arcotangente y porque el resultado es un valor entre -pi/2 y pi/2.

Para empezar el valor x+y tiene estos límites

-4pi <= x+y <= 4pi

deberemos reducir x+y al intervalo [0, 2pi] sumándole o restándole multiplos de 2pi

Si el arcotangente es negativo se le deberá sumar 2pi para poder hacer la comparación x+y=arctg(b/a)

Mientras que para hacer la suma arctg(b/a)+pi no hay que convertir el arcotangente.

Te dejo como ejemplo la gráfica para

f(x,y) = sen(x+y)+cos(x+y)

Quisiera saber porque sale lo siguiente ""u=arctg(b/a) y  arctg(b/a)+pi""

Gracias por la ayuda

Porque la ecuación

tg(u) = b/a

tiene dos respuestas

la una es

arctg(b/a)

que por la definición del arcotangente está comprendida entre

[-pi/2, pi/2]

y la otra

arctg(b/a) + pi que está comprendida entre

[pi/2, 3pi/2]

Tu fíjate que los ángulos que difieren en 180º tienen la misma tangente porque tienen el mismo seno y coseno con signos opuestos

tg(45º)=1

tg(225º)=1

con radianes eso es sumar pi

tg(pi/4) = 1

tg(pi/4+ pi) = 1

luego en este caso soluciones de

tg(u) = 1 son dos

artg(1) = pi/4

arctg(1)+pi = 5pi/4

·

Y eso es todo.

Esta máquina está como un cencerro y se está comiendo las cosas, las frase finales se las traga, decía que esperaba que te sirviera y lo hubieras entendido y te daba saludos, pero no apareció.

Con máquina me estaba refiriendo a la página web.

¡Gracias! Ahora si todo quedo claro

Hola!

Estuve revisando nuevamente y se me creo una duda según creo existen más puntos máximos y mínimos como por ejemplo

$$\begin{align}&u=\arctan\frac{b}{a}\pm\pi\\&u=\arctan\frac{b}{a}\pm3\pi\\&u=\arctan\frac{b}{a}\pm2\pi\end{align}$$

quisiera que me aclare esta duda