Tengo una duda con este problema de matemática Circunferencia

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Para que dos circunferencias sean tangentes exteriormente debe suceder que la distancia entre los centros sea igual a la suma de los radios.

Calculemos el centro y radios de cada una. Recuerdo que la ecuación canónica es (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 donde (h, k) es el centro y r el radio, hay que la ecuaciób general a la canónica.

x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0

completando cuadrados

(x+2)^2 - 4 + (y-1)^2 -1 +1 = 0

(x+2)^2 + (y-1)^2 = 2^2

centro=(-2, 1),  radio=2

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x^2 + y^2 + 4x - 18y + 69 = 0

(x+2)^2 - 4 + (y-9)^2 - 81 + 69 = 0

(x+2)^2 + (y-9)^2 = 4^2

centro=(-2, 9) , radio=4

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Y la ecuación canónica de una circunferencia tangente a  las dos será

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

cumpliendo

$$\begin{align}&d[(h,k),(-2,1)]=r+2\\&d[(h,k),(-2,9)] = r+4\\&\\&\sqrt{(h+2)^2+(k-1)^2}=r+2\\&\sqrt{(h+2)^2+(k-9)^2}=r+4\\&\\&(h+2)^2+(k-1)^2 = (r+2)^2\quad (^*)\\&(h+2)^2 +(k-9)^2 = (r+4)^2\\&\\&\text{despejando }(h+2)^2 \text{en las dos}\\&\text{e igualando}\\&\\&(r+2)^2-(k-1)^2=(r+4)^2-(k-9)^2\\&\\&r^2+4r+4-k^2+2k-1=r^2+8r+16-k^2+18k-81\\&\\&4r +2k+3 = 8r+18k-65\\&\\&4r+16k-68=0\\&\\&r=17-4k\\&\\&\text{lo sustituimos en *}\\&\\&(h+2)^2+(k-1)^2 = (17-4k+2)^2\\&\\&(h+2)^2+(k-1)^2 = (19-4k)^2\\&\\&(h+2)^2+k^2-2k+1-16k^2+128k-361=0\\&\\&(h+2)^2-15k^2+126k-360 =0\\&\\&(h+2)^2 - 15\left(k^2-\frac{126}{15}k-24\right)=0\\&\\&(h+2)^2-15\left(\left(k-\frac {63}{15}  \right)^2-\frac{63^2}{15^2}-24\right)=0\\&\\&(h+2)^2-15\left(k-\frac {63}{15}  \right)^2=15\left(\frac{1041}{25}  \right)=\frac {3123}{5}\\&\\&(h+2)^2-\frac{\left(k-\frac {63}{15}  \right)^2}{\frac 1{15}}=\frac {3123}{5}\\&\\&\frac{(h+2)^2}{\frac{3123}{5}}-\frac{\left(k-\frac {63}{15}  \right)^2}{\frac {1041}{25}}=1\\&\\&\frac{(h+2)^2}{\left(\sqrt{\frac{3123}{5}}\right)^2}-\frac{\left(k-\frac {63}{15}  \right)^2}{\left(\frac {\sqrt{1041}}{5}\right)^2}=1\\&\end{align}$$

Y eso es una hipérbola con centro y semiejes un poquitillo raros de calcular, pero una hipérbola.  Cuando la ecuación de esa hiperbola era la general

(h+2)^2-15k^2+126k-360 =0

Hice esta gráfica que confirma que esta bien. A lo mejor en las cuentas posteriores para obtener la canónica me he podido equivocar, pero se me hace cuesta arriba comprobarlo.

Como puedes ver la rama inferior de la hipérbola proporciona las circunferencias que todos esperábamos, mientras que la superior proporciona circunferencias grandes también tangentes que incluyen en su interior a las dos originales, no se si te servirá esa rama superior que tal vez surja de considerar radios negativos. Casi siempre que para resolver una ecuación se eleva al cuadrado luego obtenemos una respuesta fantasma que no sirve para la ecuación original.

Y esto es todo, ahora desapareceré unas horas, si tienes alguna duda tendrá que esperar.

¡Gracias!