¿Como podría hacer este ejercicio?
Tengo un examen en el que entra diferenciabilidad y tengo dudas de como se harían los ejercicios, muchas gracias de antemano!
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La palabra porcentual lo estropea todo, voy a hacer como si no la hubieran dicho y voy a suponer que quieren decir proporcionalmente porque luego al final dicen Efx sea igual a 1/4 y tendrían que haber puesto un porcentaje en vez de un número. Luego el objetivo es hallar alfa para que la derivada direccional sea 1/4
Vamos a calcular las derivadas parciales.
$$\begin{align}&f(x,y) = \frac{4x-2xy}{\alpha x+y}\\&\\&f_x(x,y)=\frac{(4-2y)(\alpha x+y)-\alpha(4x-2xy)}{(ax+y)^2}\\&\\&\text{no nos hay pedido dejarla simplificada}\\&\\&f_x(1,1) =\frac{2(\alpha+1)-2\alpha}{(\alpha+1)^2}=\frac{2}{(\alpha+1)^2}\\&\\&\\&fy(x,y) = \frac{-2x(\alpha x+y)-\alpha(4x-2xy)}{(\alpha x+y)^2}\\&\\&f_y(1,1) = \frac{-2(\alpha+1)-2\alpha}{(\alpha+1)^2}=\frac{-(4\alpha+2)}{(\alpha+1)^2}\\&\\&\text {lo que va a valer 0 no lo escribiré}\\&\\&\nabla f(1,1)·(1,0) =\frac{2}{(\alpha+1)^2}\\&\\&\text{Y eso debe ser un cuarto}\\&\\&\frac{2}{(\alpha+1)^2}=\frac 14\\&\\&(\alpha+1)^2=8\\&\\&\alpha+1=\sqrt 8=2\sqrt 2\\&\\&\alpha = 2 \sqrt 2 - 1\end{align}$$Y eso es todo.
