Dado el subespacio vectorial de R4 generado por los vectores...

...

2 Respuestas

Respuesta
1

a)Observando los vectores se ve que el segundo es el doble del primero.

Luego la dimensión(S)=2

o bien escalonando la matriz:

1   2  -4   1                                  1   2   -4   1

2  4   -8   2         F2-2F1             0   0    0   0

2   3   1   1         F3-2F1              0  -1   9  -1

b) B=(1,2,-4.1)  (0,-1,9,-1)

c) Ecuaciones paramétricas:  (x,y,z,t)=a(1,2,-4,1)+b(0,-1,9,-1)

x=a

y=2a-b

z=-4a+9b

t=a-b

d)Ecuaciones cartesianas:

Sustituyendo el parámetro a=x en las demás ecuaciones:

y=2x-b

z=-4x+9b

t=x-b

Despejando el parámetro b en la segunda ecuación, y sustituyendolo en las otras dos:

b=2x-y

z=-4x+9(2x-y)    ===>   14x-9y-z=0

t=x-(2x-y) =======>    -x+y-t=0

Que son las dos ecuaciones cartesianas del subespacio

Respuesta
1

·

a) Se ve claramente que el segundo vector es el primero multiplicado por 2, luego uno de los dos sobra, quitaremos el segundo y quedan

(1, 2, -4, 1) (2, 3, 1, 1)

Estos 2 ya no son dependientes, luego la dimensión de S es

Dim(S) = 2

·

b)

La base puede ser esos dos mismos vectores

B = {(1, 2, -4, 1),  (2, 3, 1, 1)}

Ya que son independientes y generadores de S.

Se puede simplificar uno de ellos con alguna operación de fila, aunque no vamos a ganar mucho, si por ejemplo le restamos 2 veces el primero al segundo quedará

B_2 = {(1, 2, -4, 1) , (0, -1, 9, -1)}

Si ahora sumamos el segundo al primero

B_3 = {(1, 1, 5, 0) , (0, -1, 9, -1)}

O si no nos gusta que haya dos negativos en el segundo y le cambiamos el signo

B_4 = {(1, 1, 5, 0) , (0, 1, -9, 1)}

·

c)

Las ecuaciones paramétricas del subespacio con la base B_4 son

(x,y,z,t) = a(1,1,5,0) + b(0,1,-9,1) = (a, a+b, 5a-9b, b)

o en las cuatro componentes separadas

x =a

y =a+b

z = 5a-9b

t = b

·

d)

Para calcular las cartesianas hay que poner los parámetros en función de x, y, z, t y dejar ecuaciones que solo tengan esos x, y, z, t.

Ya tenemos a y b despejados en la primer y cuarta, los llevaremos a segunda y tercera

y=x+t

z=5x-9t

Si queremos lo ponemos de esta forma

x-y+t=0

5x-z-9t=0

·

Esa es una solución pero son infinitas, es una recta que puede ponerse como la intersección de infinitos pares de planos.

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