Calcula K para que S sea un subespacio vectorial de dimensión 2 de R3

DimR3=dim Subespacio + nº de ecuaciones implícitas

3=2 +1

Luego las dos ecuaciones:

x+y+z=k+1

k^2x+y+z=0

Se han de reducir a una:

$$\begin{align}&\frac{1}{k^2}=1\\&\\&k=-1\\&cumple  \\&quedando\\&x+y+z=0\end{align}$$

b) Luego para k=-1 dimS=2

x+y+z=0

paramétricas:

z=a

y=b

x=-a-b

(x,y,z)=(-a-b,b,a)=a(-1,0,1)+b(-1,1,0)

Luego  (-1,0,1)  y  (-1,1,0) son una base

·

Cada condición lineal independiente que la añadimos a un espacio vectorial rebaja en 1 la dimensión del subespacio que la cumple.

Entonces tenemos un espacio R3 de dimensión 3 y queremos tener un subespacio de dimensión 2, si las dos condiciones fueran linealmente independientes quedaría un subespacio de dimensión 3-2=1. Para que se quede en dimensión 2 las dos condiciones deben ser dependientes, luego las ecuaciones deben ser proporcionales

x        + y +z = k+1

k^2x + y +z =   0

Para que en el lado derecho haya proporcionalidad debe haber un cero arriba, si no es imposible, 0 por lo que sea nunca nos dara un número distinto de 0. Luego

k+1=0

k=-1

Con ello las ecuaciones quedarán

x           +  y + z = 0

(1)^2·x + y + z = 0

·

x+y+z=0

x+y+z=0

Luego sirve. Por lo tanto si k=-1 será de dimensión 2, aprte no hay ningún otro valor de k que sirva.

·

b)

Como ya vimos antes con k=-1 la dimension es 2 y la condición es

x+y+z=0

Tomemos dos vectores independientes que cumplan eso, es algo que se puede hacer a ojo

(1, -1, 0)

(0, 1, -1)

O bien puedes tomar x e y como parámetros

x=a

y=b

z= -(a+b)

Y de ahí calcular la pareja que quieras siempre que sean independientes.

·

Y eso es todo.