1: Demuestra que cualquier entero es congruente módulo 7 a alguno de los siguientes números:
Demuestra que cualquier entero es congruente módulo 7 a alguno de los siguientes números: 291, 7, 54, 31, 36, 20, 765
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La congruencia módulo 7 divide a los números enteros en 7 clases de equivalencia, debemos ver que es e conjunto que nos dan contiene un elemento de cada una de esas siete clases.
Lo mas sencillo es identificar cada de los números con su representante canónico que es el comprendido entre 0 y 6. Cada uno de esos números es congruente con su resto de dividirlo entre 7
$$\begin{align}&291 =41·7 +4 \equiv 4 \;(mod\;7)\\&\\&7 \equiv 0\; (mod \;7)\\&\\&54=49+5\equiv5\;(mod 7)\\&31=28+3\equiv 3\;(mod\;7)\\&36 = 35+1\equiv1\;(mod\;7)\\&20=14+6\equiv6\;(mod\;7)\\&765=763+2\equiv2\;(mod\;7)\\&\\&\text{Luego el conjunto de residuos que}\\&\text{nos dan es equivalente a este}\\&\\&\{4,0,5,3,1,6,2\}\end{align}$$que es el conjunto completo de residuos de 0 a 6, luego todo numero sera congruente con uno de los que nos han dado.
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Y eso es todo.
